导数与积分_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题 · 5 分

16.已知曲线x在点(1，1)处的切线与曲线y=ax2+ (a+2)x+l相切，则a= .

正确答案

8

解析

y=x+lnx的导数为y′=1+1/x，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，
则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y-1=2x-2，即y=2x-1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x-1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2-8a=0，解得a=8．故答案为：8．

考查方向

曲线的切线方程，导数的几何意义

解题思路

先求出曲线在切点处的切线方程，然后联立成方程组，化成一元二次方程，利用根的判别式求解。

易错点

导数的几何意义理解的不透彻，不会求切点。

知识点

导数的几何意义

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

4．函数f（x）＝x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率是

A0

B－1

C1

D

正确答案

C

解析

f’(x)=cosx-xsinx,得k=f’（0）=1。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查导数的几何意义

解题思路

直接求导，即可得到结果。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

易错点

本题易在求导数时发生错误。

知识点

导数的几何意义直线的倾斜角与斜率

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

21.设函数在点处的切线方程为．（自然对数的底数

（Ⅰ）求值，并求的单调区间；

（Ⅱ）证明：当时，．

正确答案

（Ⅰ），在单调递减，在单调递增

（Ⅱ）略

解析

（Ⅰ），

由已知，，，故，，

，当时，，当时，，

故在单调递减，在单调递增；……（6分）

（Ⅱ）方法1：不等式，即，

设，，

时，，时，，

所以在递增，在递减，

当时，有最大值，

因此当时，．

方法2：设，

在单调递减，在单调递增，

因为，，，

所以在只有一个零点，且，，

当时，，当时，，

在单调递减，在单调递增，

当时，，

因此当时，．

考查方向

本题主要考查函数的导数与切线间的关系，利用导数判断函数的单调性，以及构造函数解决不等式问题，难度较大，属高考重要考点。函数与导数的问题常常考察切线问题、函数的单调性、求参数的取值范围以及构造函数解决函数不等式问题。

解题思路

第一问直接求导得到在x=0时斜率为-1得到一个方程，函数图像过点（0，-1）得到第二个方程，解出a,b;

第二问直接变形后作商得到，然后对左边函数进行求导即得

易错点

在第二问采用作差来比较大小，求导后得到的函数无法求出零点，不能联系第一问求二阶导数，导致无法计算。

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数证明不等式

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

11.函数处的切线与直线垂直，则a的值为______.

正确答案

0

解析

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义/导数的几何意义是高频考点，主要涉及求切线方程、求参数。

解题思路

易错点

易求错函数的导函数。

知识点

导数的几何意义两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系

1

题型：填空题

|

填空题 · 17 分

21．已知函数 ,，（，为常数）

（Ⅰ）若在处的切线过点，求的值；

（Ⅱ）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围。

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）

解析

本题属于导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）直接按步骤来求，

（2）要注意分离参数；

（3）要注意讨论。

（1）设在处的切线方程为，

因为，

且，所以，

切线方程为，即，

当，，将代入，得。

（2），

由题意，得有唯一解，

即方程有唯一解，

令，

则，

所以在区间，上是增函数，在区间是减函数，又，，故实数的取值范围是

（3）因为，所以，

因为存在极值，

所以在上有根，即在上有根，则有．

显然，当时，不存在极值（舍），即方程有两个不等正根，记方程的两个根为，

则，解得①；

又因为

，解得②；

由①②，得所求实数的取值范围是

考查方向

【考查方向】本题主要考查了导数的应用，导数的应用主要分以下几类：

1．利用导数的几何意义求切线方程，

2．利用导数研究函数的单调性、极值和最值或零点，

3．利用导数研究不等式恒成立或存在性。

易错点

1.第二问中，易忽视分离参数；

2.第三问中，易忽视“”的讨论．

知识点

导数的几何意义利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

4．设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题可知，g(x)=cosx,所以易得：A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查导数的几何意义

解题思路

（1）求出k；（2）判断图像，即可得到结果。

A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

易错点

本题易在求k时发生错误。

知识点

知图选式与知式选图问题导数的几何意义

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

14．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）

正确答案

解析

本题主要考查了曲线的切线方程、线线之间的距离等知识点。

解：因为,设点P（x0,y0）（x0>0）,则切线的斜率,当切线与y=x-2平行时，点P到直线距离最小，所以，解得x0=1或（舍去）。当时，y0=1,所以点P（1,1）,直线方程化为x-y-2=0,所以距离d=。

考查方向

本题主要考查了曲线的切线方程、线线之间的距离等知识点，难度中等，是高考热点之一，考查学生分析问题与转化问题的能力。

易错点

本题必须注意把点线之间的距离转化为两条平行线之间的距离，否则会导致无法求出．

知识点

导数的几何意义两条平行直线间的距离

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

21．已知函数（为常数），其图象是曲线．

（1）当时，求函数的单调减区间；

（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；

（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

（1）；

（2）；

（3）当时，存在常数，使得；当时，不存在常数使得．

解析

（1）当时，．令，解得，

的单调减区间为．

（2），由题意知消去，得有唯一解．令，则，以在区间，上是增函数，在上是减函数，又，，故实数的取值范围是．

（3）设，则点处切线方程为，

与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标．由题意知，，，若存在常数，使得，则，即常数使得，所以，解得．故当时，存在常数，使得；当时，不存在常数使得．

考查方向

本题考查了利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程

解题思路

（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；

（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则

存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数λ，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．

易错点

第二问中的方程根的问题转化成最值问题

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求参数的取值范围

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

16.已知曲线x在点(1，1)处的切线与曲线y=ax2+ (a+2)x+l相切，则a= .

正确答案

6

解析

y=x+lnx的导数为y′=1+1/x，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，

则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y-1=2x-2，即y=2x-1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x-1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2-8a=0，解得a=8．故答案为：8．

考查方向

曲线的切线方程，导数的几何意义

解题思路

先求出曲线在切点处的切线方程，然后联立成方程组，化成一元二次方程，利用根的判别式求解。

易错点

导数的几何意义理解的不透彻，不会求切点。

知识点

导数的几何意义

1

题型：填空题

|

填空题 · 5 分

13．已知函数的图象在点处的切线方程是，则．

正确答案

7

解析

由题可知：k=f’(2)=1,f(2)=6，所以7．

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义

解题思路

本题考查导数的几何意义，解题思路如下：利用导数的几何意义求出f’(2);利用切线方程求解。

易错点

本题必须注意导数的几何意义

知识点

导数的几何意义导数的运算

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点