导数与积分
共1403题

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题型：简答题

简答题 · 10 分

设函数。

（1）当时，解不等式；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）当时，

根据图易得的解集为

（2）令，

由对任意恒成立等价于对

任意恒成立

由（1）知的最小值为，所以

故实数a的取值范围为

法（2）易知，只需且，解得。

知识点

导数的运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

设函数其中，若动直线与函数的图像有三个交点，它们的横坐标分别为，则的范围为

正确答案

解析

略

知识点

导数的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知：则p是q的（　　）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既非充分也非必要条件

正确答案

解析

由知或，故选D

知识点

导数的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数在区间上单调递减，且函数值从1减小到，那么此函数图像与轴交点的纵坐标为

正确答案

解析

因为函数的最大值为1，最小值为，且在区间上单调递减，又函数值从1减小到，可知为半周期，则周期为，，此时原式为，又由函数过点，代入可得，因此函数为，令，可得.故选A.

知识点

导数的运算

题型：简答题

简答题 · 10 分

在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为。

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）是圆上一动点，点满足，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）设是圆上任一点，过作于点，则在△中，，而，，，

所以，即

为所求的圆的极坐标方程.( 5分）

（2）设，由于，

所以代入（1）中方程得，即

∴，,

∴点的轨迹的直角坐标方程为.（10分）

知识点

导数的运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重（单位：千克），将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图.已知图中从左到右前3个小组的频率之比为，其中第二小组的频数为12。

（1）求该校报考体育专业学生的总人数n；

（2）已知A、a是该校报考体育专业的两名学生，A的体重小于55千克， a的体重不小于千克，现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取小于千克和不小于千克的学生共6名，然后在从这6人中抽取体重小于千克的学生2人，体重不小于千克的学生1人组成3人训练组，求A在训练组且a不在训练组的概率.

正确答案

见解析

解析

（1）由图知第四组的频率为，

第五组的频率为.

又有条件知前三组的频率分别为，所以

（2）易知按分层抽样抽取6名体重小于55千克和不小于70千克的学生中，体重小于55千克的学生4人，记为体重不小于70千克的学生2人，记为

从中抽取满足条件的所有结果有：，

共12种

所求事件的概率为

知识点

导数的运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4，直线l：12x﹣5y+c=0（其中c为常数），下列有关直线l与圆O的命题：

①当c=0时，圆O上有四个不同点到直线l的距离为1；

②若圆O上有四个不同点到直线l的距离为1，则﹣13＜c＜13；

③若圆O上恰有三个不同点到直线l的距离为1，则c=13；

④若圆O上恰有两个不同点到直线l的距离为1，则13＜c＜39；

⑤当c=±39时，圆O上只有一个点到直线l的距离为1。

其中正确命题的有　_________　（填上你认为正确的所有命题的序号）

正确答案

①②⑤

解析

圆心到直线的距离为，当即时，圆上有四个不同点到直线的距离为1；当时，圆上恰有三个不同点到直线的距离为1；当或时，圆上恰有两个不同点到直线的距离为1；当时，圆上只有一个点到直线的距离为1.故①②⑤正确。

知识点

导数的运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC。

（1）求角A的大小

（2）求函数f（x）=cos2x﹣4cosAsinx（x∈R）的值域。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知，根据正弦定理得

即由余弦定理得

故，A=

（2）由（1）知

因为，所以，因此，当时，有最大值.

当时，有最小值-3，

所以所求函数的值域是.

知识点

导数的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知全集，集合，，则

A{1}

B{2,3}

C{1,2,4}

D{2,3,4}

正确答案

解析

，.故选C.

知识点

导数的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数，则≥1的充要条件是

正确答案

解析

当时，，所以；当时，，所以，（舍）或.所以.故选D.

知识点

导数的运算

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