热门试卷

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

由底面ABCD是矩形，∴CD⊥DA，又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AF。

∵PA=AD=1，F是PD的中点，

∴AF⊥PD，

又PD∩DC=D，∴AF⊥平面PDC。

（2）解：=，

∵PA⊥平面ABCD，

VB﹣PEC=VP﹣BEC==。

（3）取PC得中点M，连接MF、ME。

∵，，E是AB的中点，∴，

∴四边形AEMF是平行四边形，

∴AF∥EM。

又AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，

∴AF∥平面PEC。

（1）解法一：∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD  ∴BC ⊥PA 

又∵BC⊥AB，PA∩AB=A    ∴BC⊥平面PAB

又∵BC平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAB

在平面PAB内过点A作AE⊥PB于E,则AE⊥平面PBC,

∴AE的长为点A到与平面PAC的距离

在Rt△PAB

解法二：∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD ∴AD⊥PA  

又∵DA⊥AB，PA∩AB=A  ∴AD⊥平面PAB   

∵BC⊥AB  ∴BC∥AD  ∴BC⊥平面PAB  ∴BC⊥PB

在Rt△PAB

设点A到平面PBC的距离为h，则由，得

(2)证法一：

过点C作CE∥AB交AD于点E，

∵DA⊥AB   ∴DA⊥EC，且AE =BC =1

∵AD =2，∴E为AD的中点，∴EC为AD的垂直平分线，

∴CD=AC，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=450

∴∠DAC =∠ADC=450，∴∠DCA=900，即DC⊥AC，

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD  ∴CD⊥PA

且PA∩AC=A,

∴CD⊥平面PAC，∵CD面PDC。

∴平面PAC⊥平面PCD

证法二：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD  ∴CD⊥PA，

又

 ,即AC⊥DC，

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD  ∴CD⊥PA，且PA∩AC=A

∴CD⊥平面PAC，∵CD面PDC，

∴平面PAC⊥平面PCD.

解法一：

（1）取BC中点O，连结AO交BD于点E，连结PO

∵PB = PC，∴PO⊥BC

又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD = BC

∴PO⊥平面ABCD

在直角梯形ABCD中

∵AB = BC = 2CD，易知Rt△ABO≌Rt△BCD

∴∠BEO =∠OAB +∠DBA =∠DBC +∠DBA = 90°

即AO⊥BD，由三垂线定理知PA⊥BD。

（2）连结PE，由PO⊥平面ABCD，AO⊥BD

得PE⊥BD

∴∠PEO为二面角P – BD – C的平面角

设AB = BC = PB = PC = 2CD = 2a

则PO =a，OE =

在Rt△PEO中，tan∠PEO =

∴二面角P – BD– C的大小为arctan

（3）取PB的中点为N，连结CN，则CN⊥PB

又∵AB⊥BC，BC是PB在面ABCD内的射影

∴AB⊥PB，又PB∩BC = B

∴AB⊥面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC

∵CN⊥PB，面PAB∩面PBC = PB

∴CN⊥平面PAB

取PA的中点为M，连结DM、MN

则MN∥AB∥CD，∵MN =AB = CD

∴四边形MNCD为平行四边形

∴CN∥DM，∴DM⊥平面PAB

∴平面PAD⊥平面PAB。

解法二：

（1）取BC中点为O

∵侧面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形

∴PO⊥底面ABCD，以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，直线OP为z轴，如图乙所示，建立空间直角坐标系。

不妨设CD = 1

则AB = BC = PB = PC = 2，PO =

∴A(1，– 2，0)，B (1，0，0)，D (– 1，– 1，0)，P (0，0，)

∴= (– 2，– 1，0)，= (1，– 2，–)

∵·= (– 2) × 1 + (– 1) × (– 2) + 0 × (–) = 0

∴⊥，∴PA⊥BD

（2）连结AO，设AO与BD相交于点E，连结PE

由· = 1 × (– 2) + (– 2) × (– 1) + 0 × 0 = 0

∴⊥，∴OA⊥BD

又∵EO为PE在平面ABCD内的射影，∴PE⊥BD

∴∠PEO为二面角P – BD – C的平面角

在Rt△BEO中，OE = OB · sin∠OBE =

∴在Rt△PEO中，tan∠PEO =

∴二面角P – BD – C的大小为arctan

（3）取PA的中点M，连结DM

则M，又∵

∴·=× 1 + 0 × (– 2) +

∴⊥，即DM⊥PA

又∵= (1，0，)

∴·=× 1 + 0 × 0 +

∴⊥，即DM⊥PB，∴DM⊥平面PAB

∴平面PAD⊥平面PAB。

（1）∵ =    ……4

=

∴                               ……7

（2）取中点，连.

∵ 分别是的中点，

∴

∵三棱柱直三棱柱

∴    

∴  

∴

∴为MN与底面ABC所成的角               ……11

中，

∴

∴与底面ABC所成的角为

法一：

（1）

法二：

(1)

.

（1）平面⊥平面

∵ ∴

∵四棱锥的底面为矩形 ∴

∵⊂平面，⊂平面，且∩ ∴⊥平面

∵∥  ∴⊥平面  ∵⊂平面

平面⊥平面 

（2）如图，过点作延长线的垂线，垂足为，连接。

由（1）可知⊥平面

∵⊂平面

∴平面⊥平面

∵⊂平面，平面⊥平面，

平面∩平面=

∴⊥平面

∴为在平面内的射影。

∴为与底面所成的角，

，

，在直角三角形中，

在直角三角形中，

故

在直角三角形中，，

故直线与平面所成角的正弦值. 

（1）解：过作平面平面，垂足为，连接，并延长交于，连接，于是为与底面所成的角，     ………….2分

因为，所以为的平分线

又因为，所以，且为的中点

因此，由三垂线定理

因为，且，所以，

于是为二面角的平面角，即……….4分

由于四边形为平行四边形，得

所以，与底面所成的角度为………………………….8分

（2） 证明：设与的交点为，则点P为EG的中点，连结PF。

在平行四边形中，因为F是的中点，所以

而EP平面，平面，所以平面…….12分

（1）证明：,为PB中点，

∴                           1分

又⊥平面，∴     2分

又是矩形,∴         3分

∴，而  4分

∴，∴       5分

而，∴       6分

（2）由（1）知：且   7分

∴为二面角的一个平面角，则=60°      8分

∴                                       9分

∴，解得           11分

即时，三棱锥的体积为                     12分