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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在三棱锥中,,点在平面内的射影上。

(1)求直线与平面所成的角的大小;

(2)求二面角的大小。

正确答案

(1)

(2)

解析

(1)连接OC. 由已知,所成的角

设AB的中点为D,连接PD、CD.

因为AB=BC=CA,所以CDAB.

因为等边三角形,

不妨设PA=2,则OD=1,OP=, AB=4.

所以CD=2,OC=.

在Rttan.

(2)过D作DE于E,连接CE.

由已知可得,CD平面PAB.

据三垂线定理可知,CE⊥PA,

所以,.

由(1)知,DE=

在Rt△CDE中,tan

  

知识点

线面角和二面角的求法
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

是非零向量,已知命题p:若=0,=0,则=0;命题q:若,则,则下列命题中真命题是(  )

Ap∨q

Bp∧q

C(¬p)∧(¬q)

Dp∨(¬q)

正确答案

A

解析

=0,=0,则=,即()•=0,则=0不一定成立,故命题p为假命题,

,则平行,故命题q为真命题,

则p∨q,为真命题,p∧q,(¬p)∧(¬q),p∨(¬q)都为假命题

知识点

线面角和二面角的求法
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,四棱锥中, ,,侧面为等边三角形。.

(1)证明:

(2)求AB与平面SBC所成角的大小。

正确答案

见解析。

解析

解法一:(1)

中点,连结,则四边形为矩形,,连结,则.

,故,

所以为直角.

,,,得平面,所以.

与两条相交直线都垂直。

所以平面.

另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面.

(2)由平面知,平面平面.

,垂足为,则平面ABCD,.

,垂足为,则.

连结.则.

,故平面,平面平面.……9分

,为垂足,则平面.

,即到平面的距离为.

由于,所以平面,到平面的距离也为.

与平面所成的角为,则,.

解法二:以为原点,射线轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

,则.

又设,则.

(1)

,

,

.

,

又由,

,故.

于是,

.

,又,

所以平面.

(2)设平面的法向量,

.

,

,又

.

与平面所成的角为.

知识点

直线与直线垂直的判定与性质线面角和二面角的求法
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

正方体ABCD-A1BCD1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

本题考查了立体几何中线面角的求法. 与平面所成角等于与平面所成角,在三棱锥中,由三条侧棱两两垂直得点D在底面内的射影为等边的垂心即中心H,则与平面所成角,设正方体棱长为a,则,故选D.

知识点

线面角和二面角的求法
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延长A1C1至点P,使C1P=A1C1,连接AP交棱CC1于D。

(1)求证:PB1∥平面BDA1

(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

正确答案

见解析

解析

解法一:

(1)连结AB1与BA1交于点O,连结OD,

∵C1D∥平面AA1,A1C1∥AP,∴AD=PD,又AO=B1O,

∴OD∥PB1,又OD面BDA1,PB1面BDA1

∴PB1∥平面BDA1

(2)过A作AE⊥DA1于点E,连结BE,∵BA⊥CA,BA⊥AA1,且AA1∩AC=A,

∴BA⊥平面AA1C1C,由三垂线定理可知BE⊥DA1

∴∠BEA为二面角A-A1D-B的平面角。

在Rt△A1C1D中,

,∴

在Rt△BAE中,,∴

故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为

解法二:

如图,以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A1-B1C1A,则

(1)在△PAA1中有,即

设平面BA1D的一个法向量为

,则

∴PB1∥平面BA1D,

(2)由(1)知,平面BA1D的一个法向量

为平面AA1D的一个法向量,∴

故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为

知识点

直线与平面平行的判定与性质线面角和二面角的求法
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