线面角和二面角的求法
共51题

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线面角和二面角的求法
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题型：简答题

简答题 · 12 分

18．已知三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．

（1）证明：CM⊥SN；

（2）求SN与平面CMN所成角的大小．

正确答案

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知识点

直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．给出下列命题：

① 已知、为异面直线，过空间中不在、上的任意一点，可以作一个平面与、都平行；

② 在二面角的两个半平面、内分别有直线、，则二面角是直二面角的充要条件是或；

③已知异面直线与成，分别在、上的线段与的长分别为4和2，、的中点分别为、，则；

④若正三棱锥的内切球的半径为1，则此正三棱锥的体积最小值．

则正确命题的编号是。

正确答案

④

解析

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知识点

充要条件的判定命题的真假判断与应用棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；

（2）若，，PB与底面ABC成60°角，分别是与的中点，是线段上任意一动点（可与端点重合），求多面体的体积。

正确答案

解析

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知识点

组合几何体的面积、体积问题直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，在三棱锥P—ABC中，PA=2，AB=AC=4，点D、E、F分别为BC、AB、AC的中点。

（I）求证：平面PAD；

（II）求点A到平面PEF的距离；

（III）求二面角E—PF—A的正切值。

正确答案

: 解法一：

（I），

AD为PD在平面ABC内的射影。

又点E、F分别为AB、AC的中点，

在中，由于AB=AC，故

，平面PAD

（II）设EF与AD相交于点G，连接PG。

平面PAD，dm PAD,交线为PG，

过A做AO平面PEF，则O在PG上，

所以线段AO的长为点A到平面PEF的距离

在

即点A到平面PEF的距离为

说明：该问还可以用等体积转化法求解，请根据解答给分。

（III）

平面PAC。

过A做，垂足为H，连接EH。

则

所以为二面角E—PF—A的一个平面角。

在

即二面角E—PF—A的正切值为

解法二：

AB、AC、AP两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，

则A（0，0，0），E（2，0，0），D（2，2，0），F（0，2，0），P（0，0，2）

（I）

且

平面PAD

（II）为平面PEF的一个法向量，

则

令

故点A到平面PEF的距离为：

所以点A到平面PEF的距离为

（III）依题意为平面PAF的一个法向量，

设二面角E—PF—A的大小为（由图知为锐角）

则，

所以

即二面角E—PF—A的正切值为

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知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19. 如图，在三棱柱中，面为矩形，，，为的中点，与交于点，面．

（1）证明：；

（2）若，求直线与面成角的余弦值．

正确答案

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知识点

直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．在三棱锥中，，，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求点至平面的距离。

正确答案

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知识点

线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 10 分

17. 设函数。

（Ⅰ）判断的奇偶性；

（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

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知识点

线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．如图所示，已知单位正方体，是正方形的中心。

（1）求与下底面所成角的大小；

（2）求异面直线与所成的角的大小。

正确答案

（1）过E作EF⊥平面ABCD，F为垂足，

∴AF是AE在底面ABCD上的射影，

∴∠EAF就是求AE与下底面所成角的大小，

∴在Rt△EAF中，∠EAF=arctan，

因此，AE与下底面所成角的大小为arctan。

（2）∵EF//CC'//DD'，∴∠AEF就是异面直线AE与DD'所成的角，

∴在Rt△EAF中，∠AEF=arctan，

因此，AE与DD'所成角的大小为acrtan。

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知识点

线面角和二面角的求法

题型：填空题

填空题 · 4 分

7．如图，已知边长为6的正方形所在平面外的一点，平面，，连接，则与平面所成角的大小（）（用反三角函数表示）

正确答案

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知识点

直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，已知矩形的边 ,,点、分别是边、的中点，沿、分别把三角形和三角形折起，使得点和点重合，记重合后的位置为点。

（1）求证：平面平面；

（2）设、分别为棱、的中点，求直线与平面所成角的正弦；

正确答案

（1）证明:

（2）

如图,建立坐标系,则

易知是平面PAE的法向量, 设MN与平面PAE 所成的角为

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知识点

平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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