- 线面角和二面角的求法
- 共51题
已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AB=2,PA=AD=1,E,F分别是AB、PD的中点。
(1)求证:AF⊥平面PDC;
(2)求三棱锥B﹣PEC的体积;
(3)求证:AF∥平面PEC。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,
由底面ABCD是矩形,∴CD⊥DA,又PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,
∴CD⊥AF。
∵PA=AD=1,F是PD的中点,
∴AF⊥PD,
又PD∩DC=D,∴AF⊥平面PDC。
(2)解:=
,
∵PA⊥平面ABCD,
VB﹣PEC=VP﹣BEC==
。
(3)取PC得中点M,连接MF、ME。
∵,
,E是AB的中点,∴
,
∴四边形AEMF是平行四边形,
∴AF∥EM。
又AF⊄平面PEC,EM⊂平面PEC,
∴AF∥平面PEC。
知识点
将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,使得点A到点的位置,且
C = 1,则折起后二面角
– DC – B的大小为 ( )
正确答案
解析
将BD折起后,如图所示作⊥CD于E,作EF∥BC,连
,
∵EF⊥CD
又∵⊥CD,则∠
F为所求
∵= 1,又
= CD = 1
∴=
又E为CD中点,又EF∥BC
∴EFBC,∴EF =
,又∵
=
= 1
∴⊥BD,∴
=
又+ EF2 =
∴⊥EF,∴tan∠
。
知识点
如图2所示,已知四棱锥P–ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD = 90°,AB = BC = PB = PC = 2CD,侧面PBC⊥底面ABCD。
(1)证明:PA⊥BD;
(2)求二面角P – BD – C的大小;
(3)求证:平面PAD⊥平面PAB。
正确答案
见解析。
解析
解法一:
(1)取BC中点O,连结AO交BD于点E,连结PO
∵PB = PC,∴PO⊥BC
又∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD = BC
∴PO⊥平面ABCD
在直角梯形ABCD中
∵AB = BC = 2CD,易知Rt△ABO≌Rt△BCD
∴∠BEO =∠OAB +∠DBA =∠DBC +∠DBA = 90°
即AO⊥BD,由三垂线定理知PA⊥BD。
(2)连结PE,由PO⊥平面ABCD,AO⊥BD
得PE⊥BD
∴∠PEO为二面角P – BD – C的平面角
设AB = BC = PB = PC = 2CD = 2a
则PO =a,OE =
在Rt△PEO中,tan∠PEO =
∴二面角P – BD– C的大小为arctan
(3)取PB的中点为N,连结CN,则CN⊥PB
又∵AB⊥BC,BC是PB在面ABCD内的射影
∴AB⊥PB,又PB∩BC = B
∴AB⊥面PBC,∴平面PAB⊥平面PBC
∵CN⊥PB,面PAB∩面PBC = PB
∴CN⊥平面PAB
取PA的中点为M,连结DM、MN
则MN∥AB∥CD,∵MN =AB = CD
∴四边形MNCD为平行四边形
∴CN∥DM,∴DM⊥平面PAB
∴平面PAD⊥平面PAB。
解法二:
(1)取BC中点为O
∵侧面PBC⊥底面ABCD,△PBC为等边三角形
∴PO⊥底面ABCD,以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,直线OP为z轴,如图乙所示,建立空间直角坐标系。
不妨设CD = 1
则AB = BC = PB = PC = 2,PO =
∴A(1,– 2,0),B (1,0,0),D (– 1,– 1,0),P (0,0,)
∴= (– 2,– 1,0),
= (1,– 2,–
)
∵·
= (– 2) × 1 + (– 1) × (– 2) + 0 × (–
) = 0
∴⊥
,∴PA⊥BD
(2)连结AO,设AO与BD相交于点E,连结PE
由·
= 1 × (– 2) + (– 2) × (– 1) + 0 × 0 = 0
∴⊥
,∴OA⊥BD
又∵EO为PE在平面ABCD内的射影,∴PE⊥BD
∴∠PEO为二面角P – BD – C的平面角
在Rt△BEO中,OE = OB · sin∠OBE =
∴在Rt△PEO中,tan∠PEO =
∴二面角P – BD – C的大小为arctan
(3)取PA的中点M,连结DM
则M,又∵
∴·
=
× 1 + 0 × (– 2) +
∴⊥
,即DM⊥PA
又∵= (1,0,
)
∴·
=
× 1 + 0 × 0 +
∴⊥
,即DM⊥PB,∴DM⊥平面PAB
∴平面PAD⊥平面PAB。
知识点
如图,直三棱柱中,已知
,
,
,M、N分别是B1C1和AC的中点。
(1)求三棱锥的体积;
(2)求MN与底面ABC所成的角。
正确答案
答案: (1)8(2)
解析
(1)∵ =
……4
=
∴ ……7
(2)取中点
,连
.
∵ 分别是
的中点,
∴
∵三棱柱直三棱柱
∴
∴
∴
∴为MN与底面ABC所成的角 ……11
中,
∴
∴与底面ABC所成的角为
知识点
正确答案
见解析。
解析
法一:
(1)
法二:
(1)
.
知识点
扫码查看完整答案与解析