- 线面角和二面角的求法
- 共51题
如图6,已知四棱锥P-ABCD中,
,PA⊥平面ABCD。
(1)求PC与平面PAB所成角的正切值;
(2)求证:平面PAC⊥平面PCD.
正确答案
见解析。
解析
(1)解法一:∵PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD ∴BC ⊥PA
又∵BC⊥AB,PA∩AB=A ∴BC⊥平面PAB
又∵BC平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAB
在平面PAB内过点A作AE⊥PB于E,则AE⊥平面PBC,
∴AE的长为点A到与平面PAC的距离
在Rt△PAB
解法二:∵PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD ∴AD⊥PA
又∵DA⊥AB,PA∩AB=A ∴AD⊥平面PAB
∵BC⊥AB ∴BC∥AD ∴BC⊥平面PAB ∴BC⊥PB
在Rt△PAB
设点A到平面PBC的距离为h,则由,得
(2)证法一:
过点C作CE∥AB交AD于点E,
∵DA⊥AB ∴DA⊥EC,且AE =BC =1
∵AD =2,∴E为AD的中点,∴EC为AD的垂直平分线,
∴CD=AC,∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC=450
∴∠DAC =∠ADC=450,∴∠DCA=900,即DC⊥AC,
又∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD ∴CD⊥PA
且PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC,∵CD面PDC。
∴平面PAC⊥平面PCD
证法二:∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD ∴CD⊥PA,
又
,即AC⊥DC,
又∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD ∴CD⊥PA,且PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC,∵CD面PDC,
∴平面PAC⊥平面PCD.
知识点
如图,四棱锥的底面
为矩形,且
。
(1)平面PAD与平面PAB是否垂直?并说明理由;
(2)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值。
正确答案
见解析。
解析
(1)平面⊥平面
∵ ∴
∵四棱锥的底面
为矩形 ∴
∵⊂平面
,
⊂平面
,且
∩
∴
⊥平面
∵∥
∴
⊥平面
∵
⊂平面
平面⊥平面
(2)如图,过点作
延长线的垂线
,垂足为
,连接
。
由(1)可知⊥平面
∵⊂平面
∴平面⊥平面
∵⊂平面
,平面
⊥平面
,
平面∩平面
=
∴⊥平面
∴为
在平面
内的射影。
∴为
与底面
所成的角,
,
,
在直角三角形
中,
在直角三角形中,
故
在直角三角形中,
,
故直线与平面
所成角的正弦值
.
知识点
如图,在斜三棱柱 中,
,
,侧面
与底面ABC所成的二面角为120
,E、F分别是棱
、
的中点。
(1)求与底面ABC所成的角;
(2)证明EA1∥平面.
正确答案
见解析。
解析
(1)解:过作平面
平面
,垂足为
,连接
,并延长
交于
,连接
,于是
为
与底面
所成的角, ………….2分
因为,所以
为的
平分线
又因为,所以
,
且为
的中点
因此,由三垂线定理
因为,且
,所以
,
于是为二面角
的平面角,即
……….4分
由于四边形为平行四边形,得
所以,与底面
所成的角度为
………………………….8分
(2) 证明:设与
的交点为
,则点P为EG的中点,连结PF。
在平行四边形中,因为F是
的中点,所以
而EP平面
,
平面
,所以
平面
…….12分
知识点
如图所示,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,AB = 1,,点F是PB的中点,点E在边BC上移动。
(1)若,求证:
;
(2)若二面角的大小为
,则CE为何值时,三棱锥
的体积为
.
正确答案
见解析
解析
(1)证明:,
为PB中点,
∴ 1分
又⊥平面
,∴
2分
又是矩形,∴
3分
∴,而
4分
∴,∴
5分
而,∴
6分
(2)由(1)知:且
7分
∴为二面角
的一个平面角,则
=60° 8分
∴ 9分
∴,解得
11分
即时,三棱锥
的体积为
12分
知识点
9.已知圆锥的底面半径垂直,
所成的角为
.则圆锥的体积为___________。
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
扫码查看完整答案与解析