- 线面角和二面角的求法
- 共51题
如图6,已知四棱锥P-ABCD中,,PA⊥平面ABCD。
(1)求PC与平面PAB所成角的正切值;
(2)求证:平面PAC⊥平面PCD.
正确答案
见解析。
解析
(1)解法一:∵PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD ∴BC ⊥PA
又∵BC⊥AB,PA∩AB=A ∴BC⊥平面PAB
又∵BC平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAB
在平面PAB内过点A作AE⊥PB于E,则AE⊥平面PBC,
∴AE的长为点A到与平面PAC的距离
在Rt△PAB
解法二:∵PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD ∴AD⊥PA
又∵DA⊥AB,PA∩AB=A ∴AD⊥平面PAB
∵BC⊥AB ∴BC∥AD ∴BC⊥平面PAB ∴BC⊥PB
在Rt△PAB
设点A到平面PBC的距离为h,则由,得
(2)证法一:
过点C作CE∥AB交AD于点E,
∵DA⊥AB ∴DA⊥EC,且AE =BC =1
∵AD =2,∴E为AD的中点,∴EC为AD的垂直平分线,
∴CD=AC,∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC=450
∴∠DAC =∠ADC=450,∴∠DCA=900,即DC⊥AC,
又∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD ∴CD⊥PA
且PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC,∵CD面PDC。
∴平面PAC⊥平面PCD
证法二:∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD ∴CD⊥PA,
又
,即AC⊥DC,
又∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD ∴CD⊥PA,且PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC,∵CD面PDC,
∴平面PAC⊥平面PCD.
知识点
如图,四棱锥的底面为矩形,且。
(1)平面PAD与平面PAB是否垂直?并说明理由;
(2)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值。
正确答案
见解析。
解析
(1)平面⊥平面
∵ ∴
∵四棱锥的底面为矩形 ∴
∵⊂平面,⊂平面,且∩ ∴⊥平面
∵∥ ∴⊥平面 ∵⊂平面
平面⊥平面
(2)如图,过点作延长线的垂线,垂足为,连接。
由(1)可知⊥平面
∵⊂平面
∴平面⊥平面
∵⊂平面,平面⊥平面,
平面∩平面=
∴⊥平面
∴为在平面内的射影。
∴为与底面所成的角,
,
,在直角三角形中,
在直角三角形中,
故
在直角三角形中,,
故直线与平面所成角的正弦值.
知识点
如图,在斜三棱柱 中,,,侧面与底面ABC所成的二面角为120,E、F分别是棱、的中点。
(1)求与底面ABC所成的角;
(2)证明EA1∥平面.
正确答案
见解析。
解析
(1)解:过作平面平面,垂足为,连接,并延长交于,连接,于是为与底面所成的角, ………….2分
因为,所以为的平分线
又因为,所以,且为的中点
因此,由三垂线定理
因为,且,所以,
于是为二面角的平面角,即……….4分
由于四边形为平行四边形,得
所以,与底面所成的角度为………………………….8分
(2) 证明:设与的交点为,则点P为EG的中点,连结PF。
在平行四边形中,因为F是的中点,所以
而EP平面,平面,所以平面…….12分
知识点
如图所示,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,AB = 1,,点F是PB的中点,点E在边BC上移动。
(1)若,求证:;
(2)若二面角的大小为,则CE为何值时,三棱锥的体积为.
正确答案
见解析
解析
(1)证明:,为PB中点,
∴ 1分
又⊥平面,∴ 2分
又是矩形,∴ 3分
∴,而 4分
∴,∴ 5分
而,∴ 6分
(2)由(1)知:且 7分
∴为二面角的一个平面角,则=60° 8分
∴ 9分
∴,解得 11分
即时,三棱锥的体积为 12分
知识点
9.已知圆锥的底面半径垂直,所成的角为.则圆锥的体积为___________。
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
扫码查看完整答案与解析