- 圆与方程
- 共4684题
直角坐标系中，圆心0′的坐标是（2，0），⊙O′的半径是4，则点P（-2，1）与⊙O′的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵作PP′⊥x轴于P′，P′的坐标为（-2，0），
则PP′的长度为1，O′P′的长度为4，
∴在直角三角形P′OP中OP＞4，斜边＞直角边，所以P点在圆外．
故选C．
在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点上，半径为2，则下面各点在⊙O上的是（ ）
A（1，1）
B（-1，
C（-2，-1）
D（2，-2）
正确答案
解析
解：点（1，1）到圆心的距离是
点（-1，
点（-2，-1）到圆心的距离为
点（2，-2）到圆心的距离为2
故选B．
已知AB为⊙O的直径P为⊙O上任意一点，则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为（ ）
正确答案
解析
解：∵圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，
∴点P关于AB的对称点P′与⊙O的位置为：在⊙O上，
故选C．
正确答案
解：OA=
BO=
CO=
∵⊙O的半径r=10，
∴点A在⊙O内，点B在⊙O上，点C在⊙O外．
解析
解：OA=
BO=
CO=
∵⊙O的半径r=10，
∴点A在⊙O内，点B在⊙O上，点C在⊙O外．
已知⊙O的面积为36π，若PO=7，则点P在⊙O______．
正确答案
外
解析
解：设圆的半径为r，则πr2=36π，解得r=6，
∵PO=7，
∴点P在⊙O外．
（2015秋•重庆校级期中）在数轴上，点A所表示的实数为2，点B所表示的数为-1，⊙A的半径为4，则点B与⊙A的位置关系是______．
正确答案
点在圆内
解析
解：∵点A所表示的实数为2，点B所表示的数为-1，
∴AB=2-（-1）=2+1=3＜⊙A的半径4，
即d＜r，
∴点B在⊙A的内部；
故答案为：点在圆内．
（1）写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：（______，______）；
（2）判断点D（5，-2）与圆M的位置关系．
正确答案
解：（1）在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点（2，0），
所以圆心M的坐标为（2，0）．
（2）圆的半径AM=
线段MD=
所以点D在圆M内．
解析
解：（1）在方格纸中，线段AB和BC的垂直平分线相交于点（2，0），
所以圆心M的坐标为（2，0）．
（2）圆的半径AM=
线段MD=
所以点D在圆M内．
已知⊙O的半径为5厘米，A为线段OP的中点，当OP=6厘米时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：∵当OP=6厘米时，OA=3cm＜5cm，
∴根据点到圆心的距离＜半径的性质，可知点A在⊙O内．
故选A．
⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2-6x+8=0的两根，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
正确答案
解析
解：解方程x2-6x+8=0的两根，得R=2或4，d=4或2，
当R=2，d=4时，点A在⊙O外部；
当R=4，d=2时，点A在⊙O内部；
综上所述，点A不在⊙O上，
故选D．
判断以下命题是否正确：设A，B是平面上两个点集，
正确答案
证明：此命题不正确，
取A={（x，y）|y=x}，B={（x，y）|y=x，且x≠0}
则Cr∪A={x|x2+y2≤r2或y=x}，Cr∪B={x|x2+y2≤r2或y=x}
∴Cr∪A=Cr∪B
∴Cr∪A⊆Cr∪B但A⊄B
故此命题错误
下列给出的四个命题中：
①已知数列{an}，那么对任意的n∈N*，点Pn（n，an）都在直线y=2x+1上是{an}为等差数列的充分不必要条件；
②“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③设圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与坐标轴有4个交点，分别为A（x1，0），B（x2，0），C（0，y1），D（0，y2），则x1x2-y1y2=0；
④在实数数列{an}中，已知a1=0，|a2|=|a1-1|，|a3|=|a2-1|，…，|an|=|an-1-1|，则a1+a2+a3+a4的最大值为2．
其中为真命题的是 ______（写出所有真命题的代号）．
正确答案
∵点Pn（n，an）都在直线y=2x+1上
∴an=2n+1
∴{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列
所以是充分的
若{an}为等差数列，则公差不一定为2，首项也不一定为3
所以是不必要的
故①正确．
②若“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”
则有：（m+2）（m-2）+（m+2）m=0
∴（m+2）（2m-1）=0
∴m=-2或m=
故②不正确．
令x=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0化为：y2+Ey+F=0
由韦达定理
y1y2=F
令y=0，x2+y2+Dx+Ey+F=0化为：x2+Dx++F=0
由韦达定理
x1x2=F
∴x1x2-y1y2=0；
故③正确
由“a1=0，|a2|=|a1-1|，|a3|=|a2-1|，…，|an|=|an-1-1|，”
可推知数列是：0，1，0，1，0，1，…0，1…
∴a1+a2+a3+a4的最大值为2．
故④正确．
故答案为：①③④
已知命题P：方程
正确答案
∵方程
∴（3+a）（a-1）＞0，解得：a＞1或a＜-3，
即命题P：a＞1或a＜-3；
∵点（2，a）在圆x2+（y-1）2=8的内部，
∴4+（a-1）2＜8的内部，
解得：-1＜a＜3，
即命题q：-1＜a＜3，
由pΛq为假命题，¬q也为假命题，
∴实数a的取值范围是-1＜a≤1．
圆（x-a）2+（y-b）2=r2经过原点的一个充要条件是______．
正确答案
圆（x-a）2+（y-b）2=r2经过原点，等价于原点坐标适合圆（x-a）2+（y-b）2=r2．
即a2+b2=r2，
故答案为a2+b2=r2．
二次函数f（x）=3x2-4x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为⊙C．
（1）求实数c的取值范围；
（2）求⊙C的方程；
（3）问⊙C是否经过某定点（其坐标与c的取值无关）？请证明你的结论．
正确答案
（1）令x=0，得抛物线与y轴的交点（0，c），
令f（x）=3x2-4x+c=0，
由题意知：c≠0且△＞0，
解得：c＜
（2）设圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0，
令y=0，得到x2+Dx+F=0，这与x2-
令x=0，得到y2+Ey+F=0，有一个根为c，代入得：c2+cE+
则圆C方程为：x2+y2-
（3）圆C必过定点（0，
由x2+y2-
令y=
∴圆C必过定点（0，
设平面直角坐标系x0y中，设二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．
求：
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程．
正确答案
（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；
令f（x）=x2+2x+b=0，由题意得：b≠0且△＞0，
解得：b＜1且b≠0；
（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
令y=0得：x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0=0是同一个方程，故D=2，F=b；
令x=0得：y2+Ey+F=0，此方程有一个根为b，代入得出E=-b-1，
∴圆C的方程为x2+y2+2x-（b+1）y+b=0．
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