- 圆与方程
- 共4684题
直角坐标系中,圆心0′的坐标是(2,0),⊙O′的半径是4,则点P(-2,1)与⊙O′的位置关系是( )
正确答案
解析
解:∵作PP′⊥x轴于P′,P′的坐标为(-2,0),
则PP′的长度为1,O′P′的长度为4,
∴在直角三角形P′OP中OP>4,斜边>直角边,所以P点在圆外.
故选C.
在平面直角坐标系中,⊙O的圆心在原点上,半径为2,则下面各点在⊙O上的是( )
正确答案
解析
解:点(1,1)到圆心的距离是<2,故在圆内,
点(-1,)到圆心的距离为2=r,在圆上,
点(-2,-1)到圆心的距离为>2,在圆外,
点(2,-2)到圆心的距离为2>2,在圆外.
故选B.
已知AB为⊙O的直径P为⊙O上任意一点,则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为( )
正确答案
解析
解:∵圆是轴对称图形,直径所在的直线就是对称轴,
∴点P关于AB的对称点P′与⊙O的位置为:在⊙O上,
故选C.
已知⊙O的半径r=10,圆心O到直线l的距离OD=6,在直线l上有A、B、C三点,AD=6,BD=8,CD=5
,问:A、B、C三点与⊙O的位置关系.
正确答案
解:OA==6
,
BO==10,
CO==
,
∵⊙O的半径r=10,
∴点A在⊙O内,点B在⊙O上,点C在⊙O外.
解析
解:OA==6
,
BO==10,
CO==
,
∵⊙O的半径r=10,
∴点A在⊙O内,点B在⊙O上,点C在⊙O外.
已知⊙O的面积为36π,若PO=7,则点P在⊙O______.
正确答案
外
解析
解:设圆的半径为r,则πr2=36π,解得r=6,
∵PO=7,
∴点P在⊙O外.
(2015秋•重庆校级期中)在数轴上,点A所表示的实数为2,点B所表示的数为-1,⊙A的半径为4,则点B与⊙A的位置关系是______.
正确答案
点在圆内
解析
解:∵点A所表示的实数为2,点B所表示的数为-1,
∴AB=2-(-1)=2+1=3<⊙A的半径4,
即d<r,
∴点B在⊙A的内部;
故答案为:点在圆内.
如图,已知直角坐标系中,A(0,4)、B(4,4)、C(6,2),
(1)写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标:(______,______);
(2)判断点D(5,-2)与圆M的位置关系.
正确答案
解:(1)在方格纸中,线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2,0),
所以圆心M的坐标为(2,0).
(2)圆的半径AM==2
.
线段MD==
<2
,
所以点D在圆M内.
解析
解:(1)在方格纸中,线段AB和BC的垂直平分线相交于点(2,0),
所以圆心M的坐标为(2,0).
(2)圆的半径AM==2
.
线段MD==
<2
,
所以点D在圆M内.
已知⊙O的半径为5厘米,A为线段OP的中点,当OP=6厘米时,点A与⊙O的位置关系是( )
正确答案
解析
解:∵当OP=6厘米时,OA=3cm<5cm,
∴根据点到圆心的距离<半径的性质,可知点A在⊙O内.
故选A.
⊙O的半径为R,圆心到点A的距离为d,且R、d分别是方程x2-6x+8=0的两根,则点A与⊙O的位置关系是( )
正确答案
解析
解:解方程x2-6x+8=0的两根,得R=2或4,d=4或2,
当R=2,d=4时,点A在⊙O外部;
当R=4,d=2时,点A在⊙O内部;
综上所述,点A不在⊙O上,
故选D.
判断以下命题是否正确:设A,B是平面上两个点集,={(x,y)|x2+y2≤r2},若对任何r≥0,都有
∪A⊆
∪B,则必有A⊆B,证明你的结论.
正确答案
证明:此命题不正确,
取A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|y=x,且x≠0}
则Cr∪A={x|x2+y2≤r2或y=x},Cr∪B={x|x2+y2≤r2或y=x}
∴Cr∪A=Cr∪B
∴Cr∪A⊆Cr∪B但A⊄B
故此命题错误
下列给出的四个命题中:
①已知数列{an},那么对任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上是{an}为等差数列的充分不必要条件;
②“m=-2”是“直线(m+2)x+my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的必要不充分条件;
③设圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与坐标轴有4个交点,分别为A(x1,0),B(x2,0),C(0,y1),D(0,y2),则x1x2-y1y2=0;
④在实数数列{an}中,已知a1=0,|a2|=|a1-1|,|a3|=|a2-1|,…,|an|=|an-1-1|,则a1+a2+a3+a4的最大值为2.
其中为真命题的是 ______(写出所有真命题的代号).
正确答案
∵点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上
∴an=2n+1
∴{an}是以3为首项,以2为公差的等差数列
所以是充分的
若{an}为等差数列,则公差不一定为2,首项也不一定为3
所以是不必要的
故①正确.
②若“直线(m+2)x+my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”
则有:(m+2)(m-2)+(m+2)m=0
∴(m+2)(2m-1)=0
∴m=-2或m=
故②不正确.
令x=0,x2+y2+Dx+Ey+F=0化为:y2+Ey+F=0
由韦达定理
y1y2=F
令y=0,x2+y2+Dx+Ey+F=0化为:x2+Dx++F=0
由韦达定理
x1x2=F
∴x1x2-y1y2=0;
故③正确
由“a1=0,|a2|=|a1-1|,|a3|=|a2-1|,…,|an|=|an-1-1|,”
可推知数列是:0,1,0,1,0,1,…0,1…
∴a1+a2+a3+a4的最大值为2.
故④正确.
故答案为:①③④
已知命题P:方程-
=1表示双曲线,命题q:点(2,a)在圆x2+(y-1)2=8的内部.若pΛq为假命题,¬q也为假命题,求实数a的取值范围.
正确答案
∵方程-
=1表示双曲线,
∴(3+a)(a-1)>0,解得:a>1或a<-3,
即命题P:a>1或a<-3;
∵点(2,a)在圆x2+(y-1)2=8的内部,
∴4+(a-1)2<8的内部,
解得:-1<a<3,
即命题q:-1<a<3,
由pΛq为假命题,¬q也为假命题,
∴实数a的取值范围是-1<a≤1.
圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的一个充要条件是______.
正确答案
圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点,等价于原点坐标适合圆(x-a)2+(y-b)2=r2.
即a2+b2=r2,
故答案为a2+b2=r2.
二次函数f(x)=3x2-4x+c(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为⊙C.
(1)求实数c的取值范围;
(2)求⊙C的方程;
(3)问⊙C是否经过某定点(其坐标与c的取值无关)?请证明你的结论.
正确答案
(1)令x=0,得抛物线与y轴的交点(0,c),
令f(x)=3x2-4x+c=0,
由题意知:c≠0且△>0,
解得:c<且c≠0;
(2)设圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
令y=0,得到x2+Dx+F=0,这与x2-x+
=0是一个方程,故D=-
,F=
;
令x=0,得到y2+Ey+F=0,有一个根为c,代入得:c2+cE+=0,解得:E=-c-
,
则圆C方程为:x2+y2-x-(c+
)y+
=0;
(3)圆C必过定点(0,)和(
,
),理由为:
由x2+y2-x-(c+
)y+
=0,
令y=,解得:x=0或
,
∴圆C必过定点(0,)和(
,
).
设平面直角坐标系x0y中,设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.
求:
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程.
正确答案
(1)令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b);
令f(x)=x2+2x+b=0,由题意得:b≠0且△>0,
解得:b<1且b≠0;
(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
令y=0得:x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0=0是同一个方程,故D=2,F=b;
令x=0得:y2+Ey+F=0,此方程有一个根为b,代入得出E=-b-1,
∴圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.
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