热门试卷

（1）y'=-2x，则过点（x0，y0）的切线方程为y-（1-x02）=-2x0（x-x0），

与x、y轴围成的三角形面积为S=f(x0)=(+2x0+)，

则S′=(3+2-)，令S'=0得x0=

当x∈(0，)时，S'＜0，f（x0）单调递减；  当x∈(，1)时，S'＞0，f（x0）单调递增．

∴S的最小值为，此时x0=（7分）

（2）当三角形面积最小时，切线方程为y=-x+，切线与x、y轴的交点分别为A(，0)、B(0，)，

∴此三角形的外接圆圆心为(，)，半径为，

∴所求外接圆方程(x-)2+(y-)2=（12分）

（Ⅰ）因为f（x）=x2（x＞0），所以g(x)=(x＞0)．

从而f'（x）=2x，g′(x)=．

所以切线l1，l2的斜率分别为k1=f'（x0）=2x0，k2=g′(y0)=．

又y0=x02（x0＞0），所以k2=．

因为两切线l1，l2平行，所以k1=k2．

因为x0＞0，

所以x0=．

所以M，N两点的坐标分别为(，)，(，)．

（Ⅱ）设过O、M、N三点的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0．

因为圆过原点，所以F=0．因为M、N关于直线y=x对称，所以圆心在直线y=x上．

所以D=E．

又因为M(，)在圆上，

所以D=E=-．

所以过O、M、N三点的圆的方程为：x2+y2-x-y=0．

解：（Ⅰ）令f '（x）=（﹣x3+3x+2）'=﹣3x2+3=0

解得x=1或x=﹣1 当x＜﹣1时，f'（x）＜0，

当﹣1＜x＜1时，f'（x）＞0，

当x＞1时，f '（x）＜0

所以，函数在x=﹣1处取得极小值，在x=1取得极大值，

故x1=﹣1，x2=1，f（﹣1）=0，f（1）=4

所以，点A、B的坐标为A（﹣1，0），B（1，4）．

（Ⅱ）设p（m，n），Q（x，y），

  ，

所以 ，又PQ的中点在y=2（x﹣4）上，

所以  消去m，n 得（x﹣8）2+（y+2）2=9

原方程为（x+1）2+（y-）2=4表示一个圆的方程，

可设其参数方程为x=-1+2cosθ，y=+2sinθ（θ为参数，0≤θ＜2π），

则x+y=-1+2（sinθ+cosθ）=-1+2sin（θ+），

当θ=，即x=-1-，y=-时，

x+y的最小值为-1-2．

（1）点Pk（k∈N*）在同一条直线上，直线方程为y=2x-3．

证明如下：设Pk（xk，yk），则（xk，yk）=k（1，2）+（2，1），

∴，

∴yk=2xk-3．

∴点Pk在直线y=2x-3上．

（2）由圆x2+（y-2）2=5的圆心（0，2）到直线y=2x-3的距离为==r，

可知直线与圆相切，∴直线与圆及内部最多只有一个公共点．

联立解得．

∴切点的坐标为：（2，1），此时k=0不满足题意，所以不存k∈N*满足题意．

（1）1°当直线l斜率不存在时，容易知x=0符合题意；…2

2°当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+5，交圆于AB两点，取AB中点M，连接CM，则CM⊥AB，

∵|AB|=4，r=4，

∴|CM|=2，…4 

则由|CM|==2得：k=，故直线l的方程为3x-4y+5=0，…6

∴直线l的方程为：x=0或3x-4y+5=0；…7

（2）设弦中点P（x，y），由题意得：CP⊥QP，…8

∴•=0，而=（x+2，y-6），=（x，y-5）…10

∴•=x（x+2）+（y-6）（y-5）=0，化简整理得：x2+y2+2x-11y+30=0，…11

∴点P的轨迹方程为：：x2+y2+2x-11y+30=0，（（x+2）2+（y-6）2＜16）…13

∴点P的轨迹是以为（-1，）为圆心，为半径的圆，在圆（x+2）2+（y-6）2=16的内部的一段弧…14

（1）因为A(6，2)，B(8，0)，所以△OAB为以OB为斜边的直角三角形，

所以圆C：（x-4）2+y2=16

①斜率不存在时，l：x=2被圆截得弦长为4，所以l：x=2适合

②斜率存在时，设l：y-6=k（x-2）即kx-y+6-2k=0

因为被圆截得弦长为4，所以圆心到直线距离为2，所以=2

∴k=-

∴l：y-6=-(x-2)，即4x+3y-26=0

综上，l：x=2或4x+3y-26=0

（2）设∠ECF=2a，

则•=||•||•cos2α=16cos2α=32cos2α-16．

在Rt△PCE中，cosα==，由圆的几何性质得|PC|≥|NC|-1=7-1=6，

所以cosα≤，

由此可得•≤-，则•的最大值为-．

（Ⅰ）设圆C的方程为x2+y2=r2，

∵点P（2，2）在圆C上，∴r2=8

∴圆C的方程为x2+y2=8

∵A、B都在圆C上，+=m

∴A，B关于直线OP对称

∵直线OP的斜率为1

∴直线AB的斜率为-1；

（Ⅱ）设直线AB的方程为y=-x+b，则圆心到直线AB的距离为d=

∴|AB|=2

∴△OAB的面积为×2×=≤=4

当且仅当8-=，即b=±2时，△OAB的面积取得最大值4

此时直线AB的方程为y=-x±2．

（I）解法一：设A，B两点坐标分别为(，y1)，(，y2)，

由题设知==

解得y12=y22=12，

所以A(6，2)，B(6，-2)或A(6，-2)，B(6，2)．

设圆心C的坐标为（r，0），则r=×6=4，

所以圆C的方程为（x-4）2+y2=16．

解法二：设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知x12+y12=x22+y22

又因为y12=2x1，y22=2x2，可得x12+2x1=x22+2x2．即（x1-x2）（x1+x2+2）=0

由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上

设C点的坐标为（r，0），则A点坐标为(r，r)，于是有(

3

2

r)2=2×r，

解得r=4，

所以圆C的方程为（x-4）2+y2=16．

（II）设∠ECF=2α，则•=||•||•cos2α=16cos2α=32cos2α-16．

在Rt△PCE中，cosα==，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|-1=7-1=6，

所以≤cosα≤，由此可得-8≤•≤-．

则•的最大值为-，最小值为-8．

（1）依题意，圆M的半径等于圆心M（-1，0）到直线x-y-3=0的距离，

即r==2．（4分）

∴圆M的方程为（x+1）2+y2=4．（6分）

（2）设P（x，y），由|PA|•|PB|=|PO|2，

得•=x2+y2，

即x2-y2=2．（9分）

•=(-2-x，-y)•(2-x，-y)=y2+x2-4=2(y2-1)（11分）

∵点在圆M内，

∴（x+1）2+y2＜4，而x2-y2=2

∴＜x＜，

⇒0≤y2＜1+⇒-1≤y2-1＜，

∴•的取值范围为[-2，）．（14分）

（Ⅰ）：由=t+(1-t)(t∈R)

知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，

故点C的轨迹方程是：y+3=(x-1)即y=x-4（3分）

（Ⅱ）由⇒(x-4)2=4x⇒x2-12x+16=0（5分）

设A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1x2=16x1+x2=12（6分）

∴y1y2=（x1-4）（x2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16=-16（8分）

∴x1x2+y1y2=0故⊥（10分）

（Ⅲ）∵x1+x2=12，∴y1+y2=x1+x2-8=12-8=4

∴AB的中点C的坐标为（6，2）．

又∵⊥，∴|OC|=2为圆的半径．

∴所求圆的方程为（x-6）2+（y-2）2=40（14分）