热门试卷

解：（Ⅰ）设M（x，y），

则，

代入得，，

化简，即得曲线C的方程为x2+y2=4，草图如图所示，

（Ⅱ）（ⅰ）若直线n的斜率不存在时，此时点，

△PBQ的面积等于，不符合；

（ⅱ）若直线n的斜率为k时，直线n的方程设为y=k（x-1），

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立得（1+k2）x2-2k2x+k2-4=0，

则，

则，

所以，

点B到直线n的距离，

所以△PBQ的面积等于，

解得k=，

故存在直线n为y=（x-1）。

解：（1）∵O（0，0），A（6，2），

∴直线OA的方程斜率为=，

∴线段OA垂直平分线的斜率为﹣，

又线段AO的中点坐标为（3，），

∴线段OA垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x﹣3），

即x+y﹣4=0①，

又线段OB的垂直平分线为x=4②，

∴将②代入①解得：y=0，

∴圆心C的坐标为（4，0），

又|OC|=4，即圆C的半径为4，

则圆C的方程为：（x﹣4）2+y2=16；

（2）显然切线方程的斜率存在，设切线l的斜率为k，

又切线过（2，6），

∴切线l的方程为y﹣6=k（x﹣2），即kx﹣y+6﹣2k=0，

∴圆心到切线的距离d=r，即=4，

解得：k=，

则切线l的方程为：y﹣6=（x﹣2）；   

（3）当直线l的斜率不存在时，显然直线x=2满足题意；

当直线l的斜率存在时，设斜率为k，又直线l过（2，6），

∴切线l的方程为y﹣6=k（x﹣2），即kx﹣y+6﹣2k=0，

又弦长为4，半径r=4，

∴圆心到切线的距离d==2，即=2，

解得：k=﹣，

∴直线l的方程为y﹣6=﹣（x﹣2），即4x+3y﹣26=0，

综上，直线l的方程为x=2或4x+3y﹣26=0．

解：（Ⅰ）线段AB的中点E（3，1），，

故线段AB中垂线的方程为y-1=-（x-3），即x+y-4=0，

由圆C经过A、B两点，故圆心在线段AB的中垂线上，

又直线3x-y=0平分圆的面积，所以直线m经过圆心，

由，解得，即圆心的坐标为C（1，3），

而圆的半径r=|AC|=，

故圆C的方程为（x-1）2+（y-3）2=16；

（Ⅱ）由直线l的斜率为k，故可设其方程为y=kx-1，

由消去y得（1+k2）x2-（8k+2）x+1=0，

由已知直线l与圆C有两个不同的公共点，

故△=（8k+2）2-4（1+k2）＞0，

即15k2+8k＞0，

解得：k＜-或k＞0。

解：（Ⅰ）  

D=-2，E=-4，F=

=20-，   

（Ⅱ）  代入得          

，    

∵OMON得出：  

∴   ∴                    

（Ⅲ）设圆心为    半径圆的方程    

⊙C：（x-3）2+（y-1）2=5的圆心C为（3，1）．…（1分）

设P1（x1，y1），P2（x2，y2），M（x0，y0），…（2分）

因为P1M与圆C相切，所以MP1⊥CP1．  …（4分）

所以（x1-x0）（x1-3）+（y1-y0）（y1-1）=0，

即（x1-3）2+（3-x0）（x1-3）+（y1-1）2+（1-y0）（y1-1）=0，…（6分）

因为（x1-3）2+（y1-1）2=5，

所以（x0-3）（ x1-3）+（y0-1）（y1-1）=5，…（8分）

同理（x0-3）（x2-3）+（y0-1）（y2-1）=5．

所以过点P1，P2的直线方程为（x-3）（x0-3）+（y-1）（y0-1）=5．…（10分）

因直线P1P2过点（2，0）．

所以代入得（2-3）（x0-3）+（0-1）（y0-1）=5，

即x0+y0+1=0．

所以点M恒在直线x+y+1=0上．…（12分）

解：（Ⅰ）设圆心C（a，b），则，解得

则圆C的方程为x2+y2=r2，

将点P的坐标代入得r2=2，

故圆C的方程为x2+y2=2

（Ⅱ）设Q（x，y），则x2+y2=2，

=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，

令x=cosθ，y=sinθ，

∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+）﹣2，

∴（θ+）=2kπ﹣时，2sin（θ+）=﹣1，

所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．

（Ⅲ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，

故可设PA：y﹣1=k（x﹣1），PB：y﹣1=﹣k（x﹣1），

由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2=0

因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，

故可得

同理，，

所以=kOP  ，

所以，直线AB和OP一定平行

解：（Ⅰ）∵直线l的方程可化为，

∴直线l的斜率，

又∵圆C的方程为（x-4）2+y2=8m2，

∴m≠0，

①当m>0时，>0

又

∴当m>0时，0＜k≤1；

②当m＜0时，

又

∴当m＜0时，-1≤k＜0，

综上所述k∈[-1，0）∪（0，1]，

即直线ι斜率的取值范围是[-1，0）∪（0，1]；

（Ⅱ）∵圆C：x2+y2-8x+16-8m2=0的圆心为 C（4，0），半

径

又∵直线l与圆C相交于A，B两点，且=-4m2，

∴cos∠ACB

=8m2cos∠ACB=-4m2，

∴cos∠ACB=，

即∠ACB=，

此时圆心C到弦AB（即直线l）的距离为，

化简得m4+6m2-7=0，解得m2=1，

∴圆C的方程为x2+y2-8x+8=0。

设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0）

由题意有：

解之得

∴所求圆的方程为（x-1）2+（y+4）2=8

解：设圆C的方程是（r>0），

则弦长P=2，其中d为圆心到直线x-y-1=0 的距离，

∴P=2=2，

∴，

即圆的方程为，

由，解得弦的二端点坐标是（2，1）、（0，-1），

∴过弦二端点的圆的切线方程是和，

即y=1和x=0。 

解：(1)曲线方程为表示圆心为（-1，3），半径为3的圆，

∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，

∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m=-1。

(2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直，

∴设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y=-x+b，

将直线y=-x+b代入圆方程，得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0，

，得，

由韦达定理得，

，

∵，∴，

即，解得，

∴所求的直线方程为y=-x+1。