- 圆与方程
- 共4684题
已知圆
（1）求k、b的值；
（2）若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数．
正确答案
解：（1）圆
由于另一个圆的圆心是原点O，OM的中点为N（﹣2，1），OM的斜率K=
再由2个圆的圆心关于直线y=kx+b对称，可得 
（2）由上可知，直线y=kx+b即y=2x+5，即2x﹣y+5=0，且此直线是公共弦所在的直线．弦心距为d=
故cos
∴
故∠AOB=120°．
已知圆心为C（4，3）的圆经过原点。
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=2x与圆交于A，B两点，求|AB|。
正确答案
解：（Ⅰ）设圆的方程为（x-4）2+（y-3）2=r2（r>0）
因为圆经过原点， 所以r2=（0-4）2+（0-3）2=25，
所以圆的方程为（x-4）2+（y-3）2=25；
（Ⅱ）圆心C到直线2x-y=0的距离，
所以|AB|=
求经过A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的方程，
（Ⅰ）求出圆的标准方程；
（Ⅱ）求出（Ⅰ）中的圆与直线3x+4y=0相交的弦长AB。
正确答案
解：（Ⅰ）（x-1）2+（y+2）2=2；
（Ⅱ）AB=2。
已知圆O以坐标原点为圆心，直线l：x+y﹣1=0被圆O截得的线段长为
（1）求圆O的方程；
（2）设B（x，y）是圆O上任意一点，求
正确答案
解：（1）设圆O的半径为r，
∵圆心到直线l：x+y﹣1=0的距离为
直线l：x+y﹣1=0被圆O截得的线段长为
∴
∴圆O的方程为
（2）∵
设
∴kx﹣y+3﹣2k=0，
∴
∴k2-12k+6≤0
∴
∴
已知关于x，y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0。
（1）当m为何值时，方程C表示圆；
（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且MN=
正确答案
解：（1）方程C可化为
显然，5-m＞0即m＜5时，方程C表示圆。
（2）圆的方程化为
则圆心C（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离为
∴
∴
设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且直线x-y+1=0被圆截得的弦长为
正确答案
解：设所求圆的圆心C的坐标为（a，b），半径为r，
则有a+2b=0， ①
由①②③消去a，r得
化简得，b=-3或b=-7，
所以，所求圆的方程为
已知平面直角坐标系内三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）
（Ⅰ）求过O，A，B三点的圆的方程，并指出圆心坐标与圆的半径．
（Ⅱ）求过点C（-1，0）与条件（Ⅰ）的圆相切的直线方程．
正确答案
（Ⅰ）∵O（0，0），A（1，1），B（4，2），
∴线段OA中点坐标为（
∴线段OA垂直平分线的方程为y-
联立两方程解得：
则所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0，圆心是（4，-3）、半径r=5；
（Ⅱ）分两种情况考虑：当切线方程斜率不存在时，直线x=-1满足题意；
当斜率存在时，设为k，切线方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∴圆心到切线的距离d=r，即
解得：k=
此时切线方程为y=
综上，所求切线方程为x=-1或y=
过点A（3，2），圆心在直线y=2x上，与直线y=2x+5相切的圆的方程为______．
正确答案
因为圆心在直线y=2x上，所以设圆心坐标为（x0，2x0）
因为圆过点A（2，-1）且与直线y=2x+5相切，
所以 
解得x0=2或x0=
当x0=2时，圆心坐标为（2，4），并且半径r=
当x0=
∴所求圆的方程为：（x-2）2+（y-4）2=5或（x-
圆x2+（y+1）2=1的圆心坐标是（ ），如果直线x+y+a=0与该圆有公共点，那么实数a的取值范围是（ ）。
正确答案
（0，1）；
在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B，
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量
正确答案
解：（Ⅰ）圆的方程可写成
所以圆心为Q（6，0），
过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2，
代入圆方程得
整理得
直线与圆交于两个不同的点A、B等价于
解得
即k的取值范围为
（Ⅱ）设
由方程①，
又
而
所以
将②③代入上式，解得
由（Ⅰ）知
已知圆C：x2+(y-1)2=5，直线l：mx-y+1-m=0。
（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为
正确答案
（Ⅰ）证明：圆
∴圆心C到直线l：mx-y+1-m=0的距离
∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点。
（Ⅱ）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，
∴
设
化简得：
当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式；
故弦AB中点的轨迹方程是
（Ⅲ）解：设
∴
又由
∴
由①②解得：
带入（*）式解得：m=±1，
∴直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0。
如图，已知点A（0，-3），动点P满足|PA|=2|PO|，其中O为坐标原点，动点P的轨迹为曲线C，过原点O作两条直线分别l1：y=k1x，l2：y=k2x交曲线C 于点E（x1，y1）、F（x2，y2）、G（x3，y3）、H（x4，
y4）（其中y2＞0，y4＞0）。
（1）求证：
（2）对于（1）中的E、F、G、H，设EH交x轴于点Q，GF交x轴于点R。求证：|OQ|=|OR|。（证明过程不考虑EH或GF垂直于x轴的情形）
正确答案
（1）证明：设点P（x，y），
依题意，可得
整理，得
故动点P的轨迹方程为
将直线EF的方程
整理得
根据根与系数的关系，得，
将直线GH的方程
同理可得，
由①、②可得
（2）证明：设点
由E、Q、H三点共线，得
由F、R、G三点共线， 同理可得
由
即
在平面直角坐标系xOy中，点A在圆x2+y2﹣2ax=0（a≠0）上，M点满足
（I）求曲线C的方程；
（II）若直线y=x﹣1与曲线C交于P、Q两点，且
正确答案
解：：（I）设M（x，y），A（x0，y0）
∵M点满足 
∴（x0，y0）=（x﹣x0，y﹣y0）
∴
∵点A在圆x2+y2﹣2ax=0（a≠0）上
∴（
∴曲线C的方程为x2+y2﹣4ax=0（a≠0）；
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2）
将直线y=x﹣1代入x2+y2﹣4ax=0，
整理得2x2﹣2（2a+1）x+1=0
∴
∴
∵ 
∴x1x2+y1y2=﹣1
∴
∴a=1．
当a=1时，△=62﹣8＞0
∴a的值为1．
（选做题）
已知曲线
（I） 将曲线C1和曲线C2化为普通方程，并判断两者之间的位置关系；
（II） 分别将曲线C1和曲线C2上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到新曲线
正确答案
解：（I）∵曲线C1：
∴y=2x+
∵曲线C2：
∴x2+y2=1．
∵圆心（0，0）到直线y=2x+
∴曲线C1和曲线C2相切．
（II）y=2x+
x2+y2=1上的点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，得到
由（Ⅰ）知曲线C1和曲线C2相切，故曲线C1和曲线C2有一个交点．
把
∵
∴
已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．
正确答案
解：（1）要证直线l无论m取何实数与圆C恒相交，
即要证直线l横过过圆C内一点，
方法是把直线l的方程改写成
m（2x+y﹣7）+x+y﹣4=0可知，
直线l一定经过直线2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交点，
联立两条直线的方程即可求出交点A的坐标，
然后利用两点间的距离公式
求出AC之间的距离d，判断d小于半径5，得证；
（2）根据圆的对称性可得过点A最长的弦是直径，
最短的弦是过A垂直于直径的弦，
所以连接AC，过A作AC的垂线，
此时的直线与圆C相交于B、D，
弦BD为最短的弦，接下来求BD的长，
根据垂径定理可得A是BD的中点，
利用（1）圆心C到BD的距离
其实就是|AC|的长和圆的半径|BC|的长，
根据勾股定理可求出
求得|BD|的长即为最短弦的长；
根据点A和点C的坐标求出直线AC的斜率，
然后根据两直线垂直时斜率乘积为
﹣1求出直线BD的斜率，
又直线BD过A（3，1），
根据斜率与A点坐标即可写出直线l的方程．
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