热门试卷

连接BD，

∵AB为平面直角坐标系xOy中单位圆O的直径，点D在第二象限内的圆弧上运动

∴AD=2cosθ，BD=2sinθ（其中＜θ＜）．…（2分）

在△BCD中，由弦切角定理得∠BDC=θ，又DC=AB=2，

∴△BCD面积为2sin2θ； …（4分）

又Rt△ABD的面积为2sinθ•cosθ．…（5分）

∴四边形ABCD的面积为S=2sinθ•cosθ+2sin2θ．…（6分）

因为S=sin2θ+（1-cos2θ） …（8分）

=sin（2θ-）+1 …（10分）

∴2θ-=，四边形ABCD面积取得最大值

所以当θ=时，四边形ABCD面积取得最大值+1．…（12分）

解析　（1）证明　直线m：kx-y+1=0可化为y-1=kx，

故该直线恒过点（0，1），而（0，1）在圆O：x2+y2=4内部，

所以直线m与圆O恒有两个不同交点．

（2）圆心O到直线m的距离为 d=，而圆O的半径r=2，

故弦AB的长为|AB|=2=2，

故△AOB面积S=|AB|×d=×2×d==．

而d2=，因为1+k2≥1，所以d2=∈（0，1]，

显然当d2∈（0，1]时，S单调递增，所以当d2=1，即k=0时，S取得最大值，

此时直线m的方程为y-1=0．

解：（1）∵O（0，0），A（6，2），

∴直线OA的方程斜率为=，

∴线段OA垂直平分线的斜率为﹣，

又线段AO的中点坐标为（3，），

∴线段OA垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x﹣3），即x+y﹣4=0①，

又线段OB的垂直平分线为x=4②，

∴将②代入①解得：y=0，

∴圆心C的坐标为（4，0），

又|OC|=4，即圆C的半径为4，

则圆C的方程为：（x﹣4）2+y2=16；

（2）显然切线方程的斜率存在，设切线l的斜率为k，又切线过（2，6），

∴切线l的方程为y﹣6=k（x﹣2），即kx﹣y+6﹣2k=0，

∴圆心到切线的距离d=r，即=4，

解得：k=，

则切线l的方程为：y﹣6=（x﹣2）； 

（3）当直线l的斜率不存在时，显然直线x=2满足题意；

当直线l的斜率存在时，设斜率为k，又直线l过（2，6），

∴切线l的方程为y﹣6=k（x﹣2），

即kx﹣y+6﹣2k=0，

又弦长为4，半径r=4，

∴圆心到切线的距离d==2，即=2，

解得：k=﹣，

∴直线l的方程为y﹣6=﹣（x﹣2），

即4x+3y﹣26=0，

综上，直线l的方程为x=2或4x+3y﹣26=0．

（1）圆C的方程可化为（x+1）2+（y-2）2=2，

即圆心的坐标为（-1，2），半径为，

因为直线l在两坐标轴上的截距相等且不经过坐标原点，

所以可设直线l的方程为 x+y+m=0，

于是有=，得m=1或m=-3，

因此直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0；

（2）因为圆心（-1，2）到直线x-y-5=0的距离为=4，

所以点P到直线x-y-5=0距离的最大值与最小值依次分别为5和3．

解：（1）由D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，解得m＜5；    

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

联立直线x+2y﹣4=0与圆的方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，

消去y，得：5x2﹣8x+4m﹣16=0，

由韦达定理得：

①，

②，

又由x+2y﹣4=0得，

由OM⊥ON得x1x2+y1y2=0，∴，

将①、②代入上式得 ，检验知满足△＞0，故为所求．

（Ⅰ）证明：圆C：的圆心为C（0，1），半径为，

∴圆心C到直线：mx-y+1-m=0的距离，

∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点。

（Ⅱ）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，

∴，

设，则，

化简，得，

当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式，

故弦AB中点的轨迹方程是。

（Ⅲ）解：设，

由，得，

∴，化简得，                                            ①

又由，消去y，得， （*）

∴，                                                                              ②

由①②，解得，

代入（*）式，解得，

∴直线的方程为x-y=0或x+y-2=0。

解：圆C化成标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，

假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）．

∵CM⊥l，即kCMkl=×1=﹣1

∴b=﹣a﹣1

∴直线l的方程为y﹣b=x﹣a，即x﹣y﹣2a﹣1=0

∴|CM|2=（）2=2（1﹣a）2∴|MB|2=|CB|2﹣|CM|2=﹣2a2+4a+7

∵|MB|=|OM|

∴﹣2a2+4a+7=a2+b2，得

a=﹣1或，b=2

当a=时，b=﹣，此时直线l的方程为x﹣y﹣4=0

当a=﹣1时，b=0，此时直线l的方程为x﹣y+1=0

故这样的直线l是存在的，方程为x﹣y﹣4=0或x﹣y+1=0．

解：圆C化成标准方程为，

假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b），

由于CM⊥ l，∴kCM×kl= -1，

∴kCM=，即a+b+1=0，得b=-a-1， ①

直线l的方程为y-b=x-a，即x-y+b-a=0，CM=，

∵以AB为直径的圆M过原点，

∴|MA|=|MB|=|OM|，，，

∴，② 　　

把①代入②得，，∴或a=-1，

当时，，此时直线的方程为x-y-4=0；

当a=-1时，b=0，此时直线l的方程为x-y+1=0；

故这样的直线l是存在的，方程为x-y-4=0 或x-y+1=0。

解：（1）圆弧 C1所在圆的方程为 x2+y2=169，令x=5，解得M（5，12），N（5，﹣12）

则直线AM的方程为 y﹣6=2（x﹣17），令y=0，得圆弧 C2所在圆的圆心为 （14，0），

又圆弧C2 所在圆的半径为29﹣14=15，所以圆弧C2 的方程为（x﹣14）2+y2=225（x≥5）（2）假设存在这样的点P（x，y），则由PA=PO，得x2+y2+2x﹣29=0

由，解得x=﹣70 （舍去）

由，解得 x=0（舍去），

综上知，这样的点P不存在

（3）因为 EF＞r2，EF＞r1，所以 E，F两点分别在两个圆弧上，

又直线l恒过圆弧 C2的圆心（14，0），所以

解得，即

解：（1）直线方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，

可以改写为m（2x+y﹣7）+x+y﹣4=0，

所以直线必经过直线2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交点．

由方程组解得

即两直线的交点为A（3，1），

又因为点A（3，1）与圆心C（1，2）的距离，

所以该点在C内，故不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交．

（2）连接AC，当直线l是AC的垂线时，此时的直线l与圆C相交于B、D．

BD为直线l被圆所截得的最短弦长．

此时，，

所以．即最短弦长为．

又直线AC的斜率，

所以直线BD的斜率为2．

此时直线方程为：y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0．

解：（1）由D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，

解得：m＜5；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

∵OM⊥ON，

∴x1x2+y1y2=0，

又y=x+1，

∴x1x2+y1y2=x1x2+（x1+1）（x2+1）=0，

∴2x1x2+（x1+x2）+1=0③，

将直线方程y=x+1与曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，

联立并消去y得：2x2﹣4x+m﹣3=0，

由韦达定理得：x1+x2=2①，x1x2= ②，

将①、②代入③得：4+ +1=0，则m=﹣7．

解：（1）直线3x-2y=0 与椭圆的一个交点的坐标为，

代入椭圆方程得：，  

又c=1，，

解得：a=2，，

所以，椭圆的标准方程为。

（2）由（1）知，F（1，0），

则以PF为直径的圆的方程为，

圆心坐标为，半径为；

当直线4x+3y+m=0与圆相切时，

则，解得m=-10或；    

（3）设F′是椭圆的另一个焦点，则有，

以MF为直径的圆的圆心为N，半径为，

又圆O的半径为a，

所以两圆圆心之间的距离是，故两圆内切。

圆C：x2+y2+2x-4y+3=0即（x+1）2+（y-2）2=2，表示圆心为C（-1，2），半径等于的圆．

设斜率为-1的切线方程为x+y-a=0，设过原点的切线方程为kx-y=0，则圆心C到切线的距离等于半径，

由圆心到切线的距离等于半径可得 =，求得a=-1或3．

由=，求得k=2±，

故所求的切线的方程为x+y-3=0，x+y+1=0，y=(2±)x．

解：由题意可知，圆的圆心在直线x﹣y=0上，或在过P（﹣2，﹣2）

且与直线x﹣y=0垂直的直线上，圆的圆心坐标为（﹣，1），

（1）若圆心在直线x﹣y=0上，

则﹣﹣1=0，解得D=﹣2，

此时圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣5=0①；

又以（1，1），（﹣2，﹣2）为直径的圆的方程为：

（x﹣1）（x+2）+（y﹣1）（y+2）=0，

即x2+y2+x+y﹣4=0②，

∴由①②可得故直线AB方程为：3x+3y+1=0；

（2）若圆心在过P（﹣2，﹣2）且与直线x﹣y=0垂直的直线上，

则圆心所在的直线l?的方程为：y﹣（﹣2）=﹣[x﹣（﹣2）]，

即x+y+4=0，

∵圆心坐标（﹣，1），故﹣+1+4=0，

解得D=10，故圆心坐标为（﹣5，1），

∴圆的方程为：x2+y2+10x﹣2y﹣5=0，

即（x+5）2+（y﹣1）2=21，

而得点P（﹣2，﹣2）在圆内，故无切线方程；

综上所述，直线AB的方程为：3x+3y+1=0．