热门试卷

（Ⅰ）∵圆G经过点F、B  ∴F（2，0），B（0，）

∴椭圆的焦半径c＝2，短半轴长b＝  

∴a2＝b2＋c2＝6

故椭圆方程为

（Ⅱ）设直线的方程为y＝－（m＞）

由 2x2－2mx＋(m2－6)＝0

由△＝4m2－8（m2－6）＞0m2＜12  

∴－2＜m＜2

又m＞      ∴＜m＜2

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝m，x1x2＝

∴y1·y2＝［－］［－］＝

∵＝（x1－2）（x2－2）＋y1y2＝x1x2－＋＋4＝

∵点F在圆E内部    

∴＜0即＜0 0＜m＜3

又∵＜m＜2

∴实数m的取值范围为（，3）

解：（I）在方程y=x2+bx中．

令y=0，y=x，易得A（﹣b，0），B（1﹣b，1﹣b）

设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey=0，则

，

故经过三点O，A，B的圆C的方程为

x2+y2+bx+（b﹣2）y=0，

设圆C的圆心坐标为（x0，y0），则

x0=﹣，y0=﹣，

∴y0=x0+1，这说明当b变化时，

（I）中的圆C的圆心在定直线y=x+1上．

（II）设圆C过定点（m，n），则m2+n2+bm+（b﹣2）n=0，整理得

（m+n）b+m2+n2﹣2n=0，它对任意b≠0恒成立，

∴或

故当b变化时，（I）中的圆C经过除原点外的一个定点坐标为（﹣1，1）．

（III）抛物线M的顶点坐标为（﹣，﹣），

若存在这样的抛物线M，使它的顶点与它对应的圆C的圆心之间的距离不大于圆C的半径，则

|﹣|≤，

整理得（b2﹣2b）2≤0，

因b≠0，∴b=2，

以上过程均可逆，

故存在抛物线M：y=x2+2x，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径．

解：（1）依题意，点N的坐标为，可设

直线AB的方程为，与联立得

，消去y得

由韦达定理得，

于是

∴当，。

（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为，

设AC的中点为，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H

则，点的坐标为

∵

∴

∴

令，得，此时为定值，故满足条件的直线l存在，

其方程为

即抛物线的通径所在的直线。

解：（1）圆的直角坐标方程：（，

圆心坐标为C，，

圆心C在第三象限，，

圆心极坐标为（1，）。 

 （2）圆C上点到直线l的最大距离等于圆心C到l距离和半径之和l的直角坐标方程为x+y-1=0，

，

。  

解：（1）设B，过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H，

由得，即， ①

而点B在椭圆上，，②

由①、②式得，解得或（舍去）；

（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y-1=kx， ③

则，即， ④

解得，

将③代入得，

则异于零的解为，

设，

则，

则直线FE的斜率为：，

于是直线FE的方程为：，即，

则圆心（2，0）到直线FE的距离，故结论成立。

解：（1）设动点P的坐标为（x，y），依题意，得|PF|=|x+1|，即，

化简得，，

∴曲线C1的方程为。

（2）设点T的坐标为，圆C2的半径为r，

∵ 点T是抛物线上的动点，

∴()，

∴，

∵a＞2，∴a-2＞0，则当时，|AT|取得最小值为， 

依题意得，两边平方得，

解得：a=5或a=1(不合题意，舍去)，

∴，，即，

∴圆的圆心T的坐标为，

∵圆与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，

∴，

∴，

∵点T到直线l的距离，

∴直线l与圆相离。

解：（1）抛物线y2=2px的准线为，

于是，

∴p=2，

∴抛物线方程为y2=4x；

（2）∵点A的坐标是（4，4），

由题意得B（0，4），M（0，2），

又∵F（1，0），

∴，

∴，

则FA的方程为y=（x-1），MN的方程为，

解方程组，

∴；

（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2，

当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离；

当m≠4时，直线AK的方程为，即为，

圆心M（0，2）到直线AK的距离，

令d＞2，解得m＞1；

∴当m＞1时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；当m＜1时，直线AK与圆M相交。

解：（1），故P为MN的中点，

设N（x，y），由M点在x的负半轴上，则，

又F（1，0），∴，

又，

∴，

所以，点N的轨迹C的方程为。

（2）设AN的中点为B，垂直于x轴的直线方程为x=a，

以AN为直径的圆交l于C，D两点，CD的中点为H，

， 

，

∴

，

所以，令a=3，则对任意满足条件的x，

都有（与x无关），

即为定值。

解：（1）依题意，点N的坐标为，

可设

直线AB的方程为，与联立得

消去y得

由韦达定理得，

于是

∴当时，。

（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为，的中点为，

l与AC为直径的圆相交于点P，Q，

PQ的中点为H，

则，点的坐标为

∵，

，

∴，

∴

令，得，此时为定值，

故满足条件的直线l存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线。

解：（Ⅰ）把化为普通方程为x+2y+2-a=0，

把化为普通方程为x2+y2-2x+2y=0，

∴圆心到直线的距离为；

（Ⅱ）由已知，，

∴a2-2a=0，a=0或a=2。

解：（1）由得，ρ=sinθ+cosθ，

两边同乘ρ得，ρ2-ρcosθ-ρsinθ=0，

再由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，

得曲线C的直角坐标方程是x2+y2-x-y=0。

（2）将直线参数方程代入圆C方程得，5t2-21t+20=0，

，t1t2=4，

。

解：（I）圆的直角坐标方程：（+=1，

圆心坐标为C，ρ==1，

∴圆心C在第三象限，θ=，

∴圆心极坐标为（1，）；    

（II）∵圆C上点到直线l的最大距离dmax等于圆心C到l距离和半径之和，

l的直角坐标方程为：x+y﹣1=0，

∴dmax=+r=3，

∴r=2﹣．

解：（Ⅰ）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，得曲线C的直角坐标方程（x-1）2+（y+1）2=2，

l的直角坐标方程x-2y-2=0，

草图见下图，

；

（Ⅱ）设圆C的圆心C（1，-1）到直线l的距离为d，

则，

所以。