热门试卷

解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，

∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，

又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，

∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，

解得：a=﹣1或a=3，

当截距为零时，设y=kx，同理可得或，

则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．

（2）∵切线PM与半径CM垂直，

∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．

∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．

∴2x1﹣4y1+3=0．

∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．

∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．

而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，

∴由，

可得

P的坐标为．

解：（Ⅰ）圆的圆心为，半径为。

∴圆心C到直线的距离

∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；

（Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则，

∴设，则，

化简得：

当M与P重合时，也满足上式。

故弦AB中点的轨迹方程是。

（Ⅲ）设，由得，∴，化简的………………①

又由消去得

……………（*）

∴   ………………………………②

由①②解得，带入（*）式解得，

∴直线的方程为或。

（12 分）

（1）由题意易知：圆心O到直线m到的距离为3．

设m所在的直线方程为：y+=k(x+3)，即2kx-2y+6k-3=0．

由题意易知：圆心O到直线m到的距离为3，

即=3．解得k=-

此时直线m为：3x+4y+15=0，

而直线x=-3显然也符合题意．

故直线m为：3x+4y+15=0或x=-3．

（2）过点P的最短弦就是圆心与P连线垂直的直线，k=-=-2，

所以，过点P的最短弦所在直线的方程为：y+=-2(x+3)，

即：4x+2y+15=0；

最长弦就是直线经过圆心所在直线，k==．

所以，过点P的最长弦所在直线的方程为：y+=(x+3)．

即：x-2y=0．

x2+y2-6x-8y=0即（x-3）2+（y-4）2=25，斜率存在时设所求直线为y=kx．

∵圆半径为5，圆心M（3，4）到该直线距离为3，∴d==3，

∴9k2-24k+16=9（k2+1），∴k=．∴所求直线为y=x；

当斜率不存在是直线为x=0，验证其弦长为8，所以x=0也是所求直线．故所求直线为：y=x或x=0．

设x+y=t，则直线y=-x+t与圆（x-3）2+（y-3）2=6有公共点，

∴≤，

∴6-2≤t≤6+2，

则x+y最小值为6-2，最大值为6+2．

圆C：x2+y2-4x-6y+12=0，即 （x-2）2+（y-3）2=1，表示以（2，3）为圆心，半径等于1的圆．

由于点A（3，5）到圆心的距离等于=，大于半径1，故点A在圆的外部．

当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．

当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为 y-5=k（x-3），即kx-y-3k+5=0，

所以，圆心到切线的距离等于半径，即 =1，解得k=-，此时，切线为3x+4y+11=0．

综上可得，圆的切线方程为 x=3，或3x+4y+11=0．

解：（1）∵AB的直线的斜率k=﹣，AB⊥BC，

∴BC的斜率k=

∴直线BC：y= x﹣2．

（2）由y=x﹣2 ．

令y=0，得：C（4，0），

∴圆心M（1，0），

又∵AM=3，

∴外接圆的方程为（x﹣1）2+y2=9．

（3）由题意可得P（2，0）当斜率不存在时，直线方程为x=2，则

此时与圆相交可得交点E（2，2），F（2，﹣2），

EF=4满足题意

当斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣2）

∵弦长4，半径r=3，圆心（1，0）到直线y=k（x﹣2）的距离d=

∴+d2=9，此时k不存在

故直线的方程为x=2

解：（Ⅰ）如图甲，过S作SH⊥RT于H，

，

由题意，△RST在月牙形公园里，

RT与圆Q只能相切或相离；

RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，

则有RT≤4，SH≤2，

当且仅当RT切圆Q于P时（如图乙），

上面两个不等式中等号同时成立，

此时，场地面积的最大值为

；

（Ⅱ）同（Ⅰ）的分析，要使得场地面积最大，

AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，

AD必须切圆Q于P（如图丙），

再设∠BPA=θ，则有

，

令y=sinθ+sinθcosθ，

则y′=cosθ+cosθcosθ+sinθ（-sinθ）=2cos2θ+cosθ-1，

若y′=0，，

又时，y′＞0，时，y′＜0，

函数y=sinθ+sinθcosθ在处取到极大值也是最大值，

故时，场地面积取得最大值为。

解：（1）依题意，可得圆心C（a，2），半径r=2，

则圆心到直线：x-y+3=0的距离，

由勾股定理，可知，

代入，化简得，

解得：=1或=-3，

又>0，所以=1。

（2）由（1）知，圆C：，

又（3，5）在圆外，

∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为，

由圆心到切线的距离d=r=2，可解得，

∴切线方程为；

②当过（3，5）的直线的斜率不存在时，直线方程为x=3，此时直线与圆相切；

综上，由①②可知，切线方程为或x=3。

解：（1）过点O做OG⊥AB于G，连结OA，

当α=135°时，直线AB的斜率为-1，

故直线AB的方程x+y-1=0，

∴OG=，

∵r=，

∴，。

（2）当弦AB被P平分时，OP⊥AB，此时kOP=，

∴AB的点斜式方程为，即。

（3）设AB的中点为M（x，y），AB的斜率为k，OM⊥AB，

则，

消去k，得，

当AB的斜率k不存在时也成立，

故过点P的弦的中点的轨迹方程为。

解：假设存在直线，设其方程为y=x+b，

解方程组，

得2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0，                                        ①

设A (x1，y1)， B (x2，y2)， 则x1+x2=-b-1，x1x2=，

∴y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2=+b(-b-1)+b2=，

又OA⊥OB，

∴x1x2+y1y2=0，

∴，

解得b=1或b=-4，

把b=1和b=-4分别代入①式，验证判别式均大于0，

故存在b=1或b=-4，

所以存在满足条件的直线方程x-y+1=0 或x-y-4=0。

解：（Ⅰ）∵点B与点A（0，2）关于原点O对称，

∴B（0，-2），

由AA1⊥BC知，点P的轨迹C是以原点O为圆心，以AB为直径的圆（不含A、B两点），

由OA=2，

故点P的轨迹C的方程为；

（Ⅱ）设直线：y=x+m与曲线C交于M（，）、N（，）两点，

联立方程组，得，

∴+=-m，·=，

∴+=-m，·=，

ⅰ）∵，

∴，即。

ⅱ）∵点A在以线段MN为直径的圆内，

∴，

∵

∴，

∴。

令y=1+sina

则x2=1-sin2a=cos2a∴x=cosa

所以x+y=sina+cosa+1=sin（a+）+1

∵sin（a+）的最小值为-1

所以x+y最小值为-+1．

（Ⅰ）由x2+y2-x+2y=0，得(x-)2+(y+1)2=，

所以圆C：x2+y2-x+2y=0的圆心坐标为C（，-1），半径为．

设C到直线l：x-y+2=0的距离为d，则d==．

因为＞，

所以直线l与圆C的位置关系是相离；

（Ⅱ）由点P（，l），所以|PC|==2，

由圆C的半径为，所以由P引的原C的切线长为=．