热门试卷

（Ⅰ）连结OP，因为Q是切点，可得PQ⊥QO，则|PQ|2+|QO|2=|OP|2，

∵|PQ|=|PA|，∴a2+b2-1=（a-2）2+（b-1）2

化简得2a+b-3=0，即为实数a，b间满足的等量关系； …（6分）

（Ⅱ）由（I）2a+b-3=0，得b=-2a+3

∴|PQ|2=a2+b2-1=a2+（-2a+3）2-1=5（a-）2+

因此，当a=时，线段PQ长的最小值为=…（12分）

解：（1）直线l的方程可化为，

此时斜率，即km2﹣m+k=0，

∵△≥0，

∴1﹣4k2≥0，

所以，斜率k的取值范围是．

（2）不能．由（1）知l的方程为y=k（x﹣4），其中；

圆C的圆心为C（4，﹣2），半径r=2；

圆心C到直线l的距离

由，得，即，

从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，

l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．

解：由3x+y+m=0得：y=-3x-m ，

代入圆方程得：，

设P、Q两点坐标为P（x1，y1）、Q（x2，y2），

则x1+x2=，x1x2=，

∵OP⊥OQ，　　

∴，即x1·x2+y1·y2=0，

∴x1·x2+（-3x1-m）（-3x2-m）=0，

整理得：10x1·x2+3m（x1+x2）+m2=0，

∴，

解得：m=0或m=，

又△=（6m+7）2-40（m2+2m）=-4m2+4m+49，

当m=0时，△＞0；

当m=时，△＞0；

∴m=0或m=。

解：（1）“略”；

（2）k=-1。

解：（1）由题意可知，可行域是以为顶点的三角形

因为

∴△A1A2M为直角三角形

∴外接圆C1是以原点O为圆心，线段|A1A2|=为直径的圆故其方程为x2+y2=2

设椭圆的方程为

∵

∴∴c=1，可得b=1

故椭圆C2的方程为

（2）直线PQ始终与圆C1相切。设

当x0=1时，P（1，1）或P（1，﹣1），此时Q（2，0）

若

kOPkPQ=﹣1

∴OP⊥PQ

若

kOPkPQ=﹣1

∴OP⊥PQ  

即  当x0=1时，OP⊥PQ，直线PQ与圆C1相切

当

所以直线OQ的方程为，因此点Q的坐标为（2，

∵

∴当x0=0时，kPQ=0，OP⊥PQ

∴当，

∴kOPkPQ=﹣1  ，  OP⊥PQ

综上，当时，OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆C1相切

解：（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，

且经过点P（1，），

∴，

∴椭圆C的方程为。

（2）易求得F（1，0），

设M（x0，y0），则，

圆M的方程为，

令x=0，化简得……①

将代入①，得。

（3）设D（0，y1），E（0，y2），其中y1＜y2，

由（2），得，

当时，DE的最大值为。

（I）证明：如图，连接OC．

∵OA=OB，CA=CB，OC=OC，

∴△AOC≌△BOC，

∴∠OCA=∠OCB=90°，

∴OC⊥AB．

∴AB是圆O的切线；（3分）

（II）由ED为圆O的直径，得到∠ECD=90°，

在直角三角形中，

根据三角函数定义得：tanE==．

∵∠B=∠B，∠BCD=∠E，

∴△BCD∽△BEC，

∴==．

设BD=x，则BC=2x．（6分）又BC2=BD•BE，

∴（2x）2=x（x+6）．（8分）

解得x1=0，x2=2．

由BD=x＞0，∴BD=2．

∴OA=OB=BD+OD=2+3=5．（12分）

解：由题意可知，圆的圆心在直线x﹣y=0上，或在过P（﹣2，﹣2）

且与直线x﹣y=0垂直的直线上，圆的圆心坐标为（﹣，1），

（1）若圆心在直线x﹣y=0上，

则﹣﹣1=0，解得D=﹣2，

此时圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣5=0①；

又以（1，1），（﹣2，﹣2）为直径的圆的方程为：

（x﹣1）（x+2）+（y﹣1）（y+2）=0，

即x2+y2+x+y﹣4=0②，

∴由①②可得故直线AB方程为：3x+3y+1=0；

（2）若圆心在过P（﹣2，﹣2）且与直线x﹣y=0垂直的直线上，

则圆心所在的直线l?的方程为：y﹣（﹣2）=﹣[x﹣（﹣2）]，

即x+y+4=0，

∵圆心坐标（﹣，1），故﹣+1+4=0，

解得D=10，故圆心坐标为（﹣5，1），

∴圆的方程为：x2+y2+10x﹣2y﹣5=0，

即（x+5）2+（y﹣1）2=21，

而得点P（﹣2，﹣2）在圆内，故无切线方程；

综上所述，直线AB的方程为：3x+3y+1=0．

解：（1）当时，C1的普通方程为

C2的普通方程为x2+y2=1

联立方程组

解得C1与C2的交点为（1，0），。

（2）C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0

A点坐标为（sin2α，-cosαsinα），

故当α变化时，P点轨迹的参数方程为（α为参数）

P点轨迹的普通方程为

故P点轨迹是圆心为，半径为的圆。

解：（Ⅰ）C1是圆，C2是直线，

C1的普通方程为，半径r=1；

C2的普通方程为，

因为圆心C1到直线的距离为1，

所以C2与C1只有一个公共点．

（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为（θ为参数），

（t为参数），

化为普通方程为：，

联立消元得，

其判别式，

所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同。

解：将方程（t为参数）化为普通方程3x+4y+1=0，

将方程化为普通方程，

表示圆心为，半径为的圆，

则圆心到直线的距离，

弦长。

（1）由题意得|PA|=|PB|，

∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2

∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆．

设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

则2a=4，a=2，a2-b2=c2=1，故b2=3，

∴点p的轨迹方程为+=1

（2）曲线Q：x2-2ax+y2+a2=1化为（x-a）2+y2=1，则曲线Q是圆心在（a，0），半径为1的圆．

而轨迹E：+=1为焦点在y轴上的椭圆，短轴上的顶点(-，0)，(，0)

∵曲线Q被轨迹E包围着，则-+1≤a≤-1

∴a的最小值为-+1．

解：要使△AOB面积最大，则应有∠AOB=90°，

此时O到直线AB的距离d= =2 ．

又直线AB的方程y=k（x﹣3），

∴  ∴k= ．

此时三角形△AOB面积有最大值8．

解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为，

即，它表示以（0，3）为圆心，3为半径的圆，

直线方程l的普通方程为，

圆C的圆心到直线l的距离d=1，

故直线l被曲线C截得的线段长度为。