热门试卷

解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，

∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，

又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，

∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，

即，

解得：a=﹣1或a=3，

当截距为零时，设y=kx，同理可得或，

则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．

（2）∵切线PM与半径CM垂直，

∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．

∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．

∴2x1﹣4y1+3=0．

∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．

∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．

而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，

∴由，可得

故所求点P的坐标为．

解：（1）双曲线2x2﹣2y2=1的两个焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），

∵|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|，

∴P点的轨迹是椭圆，其中a=2，c=1，则，

∴C的方程为

（2）设M（x0，y0），d=|x0|，

∵圆M与y轴有两个交点，

∴d＜r，即，

∴，

又，即，

∴，

∴，

∴（3x0﹣4）（x0+4）＜0

∴，

又﹣2≤x0≤2，

∴

解：（1）由圆心O到直线l的距离

可得k=±1。

（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

将直线l：y=kx-2代入x2+y2=2，

整理，得（1+k2）·x2-4kx+2=0，

所以

Δ=（-4k）2-8（1+k2）>0，即k2>1

当∠AOB为锐角时，

则

可得k2＜3，

又因为k2>1，

故k的取值范围为或。

（3）设切点C，D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

动点P的坐标为（x0，y0），则过切点C的切线方程为：x·x1+y·y1=2，

所以x0·x1+y0·y1=2

同理，过切点D的切线方程为：x0·x2+y0·y2=2，

所以过C，D的直线方程为：x0·x+y0·y=2

又，将其代入上式并化简整理，

得，而x0∈R，

故且-2y-2=0，可得，y=-1，

即直线CD过定点。

解：（1）两圆的半径都为2，两圆心为F1（﹣，0）、F2（，0），

由题意得：|CF1|+2=|CF2|﹣2或|CF2|+2=|CF1|﹣2，

∴||CF2|﹣|CF1||=4=2a＜|F1F2|=2=2c，

可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2的双曲线，

因此a=2，c=，则b2=c2﹣a2=1，

所以轨迹L的方程为﹣y2=1；

（2）过点M，F的直线l的方程为y=（x﹣），

即y=﹣2（x﹣），代入﹣y2=1，

解得：x1=，x2=，

故直线l与双曲线L的交点为T1（，﹣），T2（，），

因此T1在线段MF外，T2在线段MF内，

故||MT1|﹣|FT1||=|MF|==2，

||MT2|﹣|FT2||＜|MF|=2，

若点P不在MF上，则|MP|﹣|FP|＜|MF|=2，

综上所述，|MP|﹣|FP|只在点T1处取得最大值2，此时点P的坐标为（，﹣）．

解：（1）因为动圆M，过点F（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，

所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离．

所以，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，且，p=2，

所以所求的轨迹方程为y2=4x

（2）假设存在A，B在y2=4x上，

所以，直线AB的方程：，

即

即AB的方程为：，

即（y1+y2）y﹣y12﹣y1y2=4x﹣y12即：（y1+y2）y+（16﹣4x）=0，

令y=0，得x=4，所以，无论y1，y2为何值，直线AB过定点（4，0）

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，

则：，从而：，故b=2，

所以椭圆的标准方程为。

（Ⅱ）设M（-4，m），则圆K的方程为与圆O：联立消去得PQ的方程为4x-my+8=0，过定点E（-2，0）。

（Ⅲ）设，则，………①

，

∴，即：，

代入①解得：（舍去正值），

∴，所以PQ：x-y+2=0，

从而圆心O（0，0）到直线PQ的距离，

从而。

解：（1）设椭圆C的标准方程为（a>b>0），

由椭圆的定义知：

c=1，b2=a2-c2=3

得a=2，

故C的方程为。

（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，

所以

则

从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离

所以直线l与圆O相交，

直线l被圆O所截的弦长为

∵0≤m2≤4，

∴

∴。

解：（1）：解方程组 ，得：y=0，x=﹣2，

  ，得：y=0，x=2，

 ，得：y= ，x=1，

∴可行域y的三个顶点分别为：（﹣2，0），（2，0），（1， ），

设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，得到方程组： ，

解得：D=0，E=0，F=﹣4，

∴圆C的方程为：x2+y2=4，

圆与X轴的交点A1（﹣2，0），A2（2，0），

设椭圆C1的方程的方程为：  ，（a＞b＞0）

则有 ，

∴椭圆方程为： 

（2）设p（x0，y0），（x0≠±2），

∴当x0= 时，P（2， ），  ，kOp·kPQ=﹣1，

当 时， ， ，

∴ ，

∴ ，

∴KOP·KPQ=﹣1，故相切．

解：（Ⅰ）设，

因为，所以，

整理得，

得（舍）或，所以。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，

直线PF2的方程为，

A，B两点的坐标满足方程组，

消去y并整理，得，解得，

得方程组的解，

不妨设，

所以，

于是，

圆心到直线PF2的距离，

因为，所以，

整理得，得（舍）或c=2，

所以椭圆方程为。

解：（1）∵

∴BO|=|OC|=1，

∴∴

依椭圆的定义有：=

∴a=2又c=1，∴b2=a2﹣c2=3

∴椭圆的标准方程为

（2）椭圆的右顶点A1（2，0），圆E的圆心为E（1，0），半径．

假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，

则∠MEN=90°，圆心E（1，0）到直线l的距离

当直线l斜率不存在时，l的方程为x=2，

此时圆心E（1，0）到直线l的距离d=1（符合）

当直线l斜率存在时，设l的方程为y=k（x﹣2），

即kx﹣y﹣2k=0

∴圆心E（1，0）到直线l的距离，无解

综上：点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，

此时l方程为x=2

解：（1）当x0=3时，

直线PN：代入x2=2y，

得或3，

所以

所以∠POQ=90°。

（2）（i）以MP为直径的圆的圆心为

所以圆的半径

圆心到直线的距离

故截得的弦长

=2。

（ii）总有∠FPB=∠BPA

证明：，y'=x，

所以切线l的方程为

即

令y=0，得，

所以点B的坐标为

点B到直线PA的距离为

下面求直线PF的方程

因为

所以直线PF的方程为

整理得

所以点B到直线PF的距离为

所以d1=d2，

所以∠FPB=∠BPA。

解：（Ⅰ）依题意可知，

∴，

∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支，

设其方程为，

则a=1，c=2，∴，

∴轨迹W的方程为。

（Ⅱ）当的斜率不存在时，显然不满足，故的斜率存在，

设的方程为，

由得，

又设，

则，

由①②③，解得：，

∵，

∴，

∴，

代入①②，得，，

消去x1，得，即，

故所求直线的方程为。

 （Ⅲ）问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线x=有公共点，若直线的斜率不存在，则以AB为直径的圆为，可知其与直线x=相交；

若直线的斜率存在，则设直线的方程为，，

由（Ⅱ）知且，

又N（2，0）为双曲线的右焦点，双曲线的离心率e=2，

则，

设以AB为直径的圆的圆心为S，点S到直径x=的距离为d，则

，

∴，

∵，

∴，即，即直线与圆S相交，

综上所述，以线段AB为直径的圆与直线相交；

故对于的任意一确定的位置，在直线上存在一点Q（实际上存在两点）使得。

解：（Ⅰ）以C为原点，L所在的直线为X轴，

如图所示建立直角坐标系，则B（﹣6，9）．   

  设抛物线的方程为y=ax2，

把点B（﹣6，9）代入y=ax2得，

故抛物线方程为．

设，

根据直线DE与L的夹角是45．

得直线L的斜率为1，

由，

∴，∴x0=2，

故D点的坐标是（2，1）．

（Ⅱ）设所求圆的圆心为H．

过D与L垂直的直线方程是l1：y=﹣x+3，

BD的中点坐标是（﹣2，5），kBD=﹣1，

故BD中垂线方程是y=x+7，

由  ．

∴H（﹣2，5）．

∵B（﹣6，9）∈l1，∴BD是直径．

∵．

∴．

∵圆心H到L的距离为d=5，，

故圆弧与地平线L相离．

解：（1）依题意知，曲线C是以F（0，1）为焦点，y=-1为准线的抛物线，　

∵焦点到准线的距离p=2，　

∴曲线C的方程是。

（2）∵圆M的半径为，

∴其方程为，

令y=0，得，

则，，　

∴，

又∵点M（a，b）在抛物线上，

∴，

∴，即，

∴线段EG的长度是4。