圆与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（选做题）

坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．求：

（1）曲线C和直线l的普通方程；

（2）求直线l被曲线C所截得的弦长．

正确答案

解：（1）曲线C极坐标方程为，即ρ=2（sinθ﹣cosθ），

两边同乘以ρ，得ρ2=2（ρsinθ﹣ρcosθ），

化为普通方程为x2+y2=2y﹣2x，即（x+1）2+（y﹣1）2=2．

直线l的参数方程为

①×3+②×4，消去t得直线l的普通方程为：3x+4y+1=0．

（2）由（1），曲线C表示以C（﹣1，1）为圆心，半径为的圆．

根据直线和圆的位置关系，圆心C到直线l的距离d=，

直线l被曲线C所截得的弦长=2=．

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题型：简答题

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简答题

（选做题）

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，）。若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径。

（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系。

正确答案

解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），

圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ；

（Ⅱ）因为对应的直角坐标为（0，4），

直线l化为普通方程为，

圆心到l的距离，

所以直线l与圆C相离。

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题型：简答题

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简答题

（选做题）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．

（I）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；

（II）试判定直线l和圆C的位置关系．

正确答案

解（I）直线l的参数方程为，（t为参数）圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．

（II）因为对应的直角坐标为（0，4）

直线l化为普通方程为圆心到，

所以直线l与圆C相离．

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题型：简答题

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简答题

选做题

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．

（I）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；

（II）试判定直线l和圆C的位置关系．

正确答案

解（I）直线l的参数方程为，（t为参数）

圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．

（II）因为对应的直角坐标为（0，4）

直线l化为普通方程为

圆心到，

所以直线l与圆C相离．

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题型：简答题

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简答题

（选做题）直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为，直线l的方程为（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T。

（1）求点T的极坐标；

（2）过点T作直线，被曲线C截得的线段长为2，求直线的极坐标方程。

正确答案

解：（1）曲线的直角坐标方程为

将代入上式并整理得

解得

∴点的坐标为

其极坐标为。

（2）设直线的方程为

由（1）得曲线是以为圆心的圆，且圆心到直线的距离为

则，，解得，或

直线的方程为，或

其极坐标方程为ρsinθ=，或θ=（ρ∈R）。

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简答题

（选做题）已知直线l的参数方程是：（t为参数），圆C的极坐标方程是：ρ=2 sin（θ+ ），试判断直线l与圆C的位置关系．

正确答案

解：将直线l：（t为参数），化成普通方程得2x﹣y+1=0

∵圆C的极坐标方程是：ρ=2 sin（θ+ ），即ρ=2sinθ+2cosθ

∴两边都乘以ρ，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ

结合，可得圆C的普通方程是：x2+y2=2x+2y，即x2+y2﹣2x﹣2y=0，

∴圆C是以点C（1，1）为圆心，半径r= 的圆．

∵点C到直线l：2x﹣y+1=0的距离为d= =

∴直线l与圆C相交．

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简答题

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，

（Ⅰ）若直线l的斜率为-1，求直线l与曲线C交点的极坐标；

（Ⅱ）若直线l与曲线C相交弦长为2，求直线l的参数方程。

正确答案

解：（Ⅰ）直线l的方程：y-1=-1（x+1），即y=-x，

C：ρ=4cosθ，即x2+y2-4x=0，

联立方程得2x2-4x=0，

∴A（0，0），B（2，-2），

极坐标A（0，0），；

（Ⅱ），l：y=-x，C：（x-2）2+y2=4，

∴，

∴k=0或，

∴l：（t为参数）或（t为参数）。

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简答题

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数）.若以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线C的直角坐标方程;

（2）求直线被曲线所截得的弦长.

正确答案

解：(1) 由得：

两边同乘以得：

∴ 即

（2）将直线参数方程代入圆C的方程得：

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简答题

已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．

正确答案

解：（1）消去参数θ，得曲线C的标准方程：（x﹣1）2+=1．

由得：ρcosθ﹣ρsinθ=0，

即直线l的直角坐标方程为：x﹣y=0．

（2）圆心（1，0）到直线l的距离为，

则圆上的点M到直线的最大距离为（其中r为曲线C的半径），

．

设M点的坐标为（x，y），

则过M且与直线l垂直的直线l'方程为：x+y﹣1=0，

则联立方程，

解得，或，

经检验舍去．

故当点M为时，

△ABM面积的最大值为（S△ABM）max=．

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简答题

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ=2sinθ，

(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；

(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为(3，)，求|PA|+|PB|。

正确答案

解：(Ⅰ)由，得，

即。

(Ⅱ)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，

即，

由于，

故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以，

又直线l过点

故由上式及t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2。

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题型：简答题

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简答题

已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

(Ⅰ)写出直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；

(Ⅱ)求圆C截直线l所得的弦长．

正确答案

解：(Ⅰ)消去参数θ，得圆的普通方程为，

由，得，

∴直线l的方程为。

(Ⅱ)圆心到直线l的距离为，

设圆C截直线l所得弦长为m，

则，

∴。

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简答题

选做题

已知点P（1+cosα，sinα），参数α∈[0，π]，点Q在曲线上．

（I）求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；

（II）求|PQ|的最小值．

正确答案

解：（I）由消去α得

点P的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1，（y≥0）．

即为﹣ρsin（）=10，﹣（ρsinθ+ρcosθ）=10

直角坐标方程为x+y=﹣10．

（II）点P的轨迹是以（1，0）为圆心，以1为半径的上半圆，

当Q为坐标原点时，|PQ|的最小值=5

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简答题

极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C1的极坐标方程为p=4（cosθ+sinθ），P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足

OQ=OP，点Q的轨迹为C2．

（I）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；

（ II）已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），l与曲线C2有且只有一个公共点，求φ的值．

正确答案

解：（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），

则 ρ= ρ0= ×4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），

点Q轨迹C2的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），

两边同乘以ρ，得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），

C2的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，

即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．

（Ⅱ）将l的代入曲线C2的直角坐标方程，

得（tcosφ+1）2+（tsinφ﹣1）2=2，

即t2+2（cosφ﹣sinφ）t=0，

t1=0，t2=sinφ﹣cosφ，

由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，

得sinφ﹣cosφ=0，

因为0≤φ＜π，

所以φ= ．

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简答题

已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：

ρ=2．

（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若平面直角坐标系横轴的非负半轴与极坐标系的极轴重合，试判断直线l和圆C的位置关系．

正确答案

解：（1）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1，ρ=2，

即ρ=2（sin+cos），

两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsin+ρcos），

得⊙C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（x﹣1）2=2；

（2）圆心C到直线l的距离d==＜，

所以直线l和⊙C相交．

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简答题

已知直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为

（1）求直线l的倾斜角；

（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

正确答案

解：（1）直线参数方程可以化，

根据直线参数方程的意义，

这条经过点，倾斜角为60°的直线．

（2）l的直角坐标方程为，

的直角坐标方程为，

所以圆心到直线l的距离，

∴．

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