圆与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C．

求证：∠ACB=∠OAC．

正确答案

解：如图，取EC的中点F，连接AF，OE，AE．

则OE⊥EC，AF∥OE．

∴AF⊥EC．

∴∠CAF=∠EAF．

又∵OE∥AF∥BC，

∴∠EAF=∠OEA=∠OAE，

∠CAF=∠ACB．

∴∠OAE=∠EAF=∠CAF=∠ACB．

∴∠ACB=∠OAC．

解析

解：如图，取EC的中点F，连接AF，OE，AE．

则OE⊥EC，AF∥OE．

∴AF⊥EC．

∴∠CAF=∠EAF．

又∵OE∥AF∥BC，

∴∠EAF=∠OEA=∠OAE，

∠CAF=∠ACB．

∴∠OAE=∠EAF=∠CAF=∠ACB．

∴∠ACB=∠OAC．

1

题型：填空题

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填空题

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，PC=______cm．

正确答案

解析

解：连接OC，

PC是⊙O的切线，

∴∠OCP=90°

∵∠CPA=30°，OC==3，

∴tan30°=，

即PC=．

故填：．

1

题型：简答题

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简答题

如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC且交AC的延长线于点E．

求证：DE是圆O的切线．

正确答案

证明：连接OD，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD

∵∠BAC的平分线是AD

∴∠OAD=∠DAC

∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…（5分）

又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD

∵OD是⊙O的半径

∴DE是⊙O的切线．…（10分）

解析

证明：连接OD，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD

∵∠BAC的平分线是AD

∴∠OAD=∠DAC

∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…（5分）

又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD

∵OD是⊙O的半径

∴DE是⊙O的切线．…（10分）

1

题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O（O为圆心）的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC=，∠PAB=30°，则圆O的面积为______．

正确答案

解析

解：已知如图：

∵PA是圆O（O为圆心）的切线，，∠PAB=30°，

由弦切角定理得∠C=30°

又∵BC为直径，

∴∠BAC=90°

又∵AC=，

∴2R=BC=，即R=

则圆O的面积为S==

故答案为：

1

题型：填空题

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填空题

如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC=，则AC=______．

正确答案

2

解析

解：∵AB=AC，∠C=72°

∴∠A=36°

圆O过AB两点且BC切于B

∴∠CBD=∠A=36°

∴∠ABD=36°

∴AD=BD

∠BDC=72°

BC=BD

∴△ABC∽△BCD

∴BC 2=CD•AC=（AC-BC）AC

∴AC=2

故答案为：2

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题型：填空题

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填空题

如图，已知圆中两条弦AB与CD相交与F，且DF=CF=，E是AB延长线上一点，AF：FB：BE=4：2：1，若CE与圆相切，则线段CE的长为______．

正确答案

解析

解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k=，

∴AF=2，BF=1，BE=，AE=，

由切割定理得CE2=BE•EA==

∴CE=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

如图，AB是的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，∠ACE=40°，则∠P=（　　）

A60°

B70°

C80°

D90°

正确答案

C

解析

解：连接BC，

∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°，

又∠ACE=40°，且PB=PC

∴∠PCB=∠PBC=50°，

∴∠P=180°-50°-50°=80°

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D=46°，则∠A=______．

正确答案

67°

解析

解：由圆的切线的性质可知，DB=DC

∵∠D=46°

∴∠DBC=∠DCB=67°

∵DB，DC是⊙O的两条切线

∴∠DBC是圆的弦切角，且A是圆的圆周角

由弦切角定理可知，∠DBC=∠A=67°

故答案为67°

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题型：填空题

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填空题

如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC=3，，则AB的长为______．

正确答案

4

解析

解：∵BC是⊙O的切线，∴BC2=CD•CA，即，CD＞0，解得CD=．

∴AC=5．

由BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC．由勾股定理可得==4．

故答案为4．

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲：

如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点且CD⊥AB于C，E，F分别为圆上的点满足∠ACF=∠BCE，直线FE、AB交于P，求证：PD为⊙O的切线．

正确答案

证明：延长FC交圆与G，连接GB、OD，如图．

∠POF=2∠OAF，

而∠PEC=∠PEB+∠BEC=∠PAF+∠BGC=∠PAF+∠PAF=2∠PAF，

∴∠POF=∠PEC

又根据圆的对称性，得∠PGC=∠PEC

在△PGC和△FOC中，∠1=∠2，

∠PGC=∠PEC，

∴△PGC∽△FOC，

∴PC•OC=GC•FC，

又CD2=GC•FC，

∴PC•OC=CD2

∴△PDC∽△DOC．

∴∠PDC=∠DOC，

∵∠DOC+∠ODC=90°，

∴∠PDC+∠ODC=90°，

∴PD是⊙O的切线．

解析

证明：延长FC交圆与G，连接GB、OD，如图．

∠POF=2∠OAF，

而∠PEC=∠PEB+∠BEC=∠PAF+∠BGC=∠PAF+∠PAF=2∠PAF，

∴∠POF=∠PEC

又根据圆的对称性，得∠PGC=∠PEC

在△PGC和△FOC中，∠1=∠2，

∠PGC=∠PEC，

∴△PGC∽△FOC，

∴PC•OC=GC•FC，

又CD2=GC•FC，

∴PC•OC=CD2

∴△PDC∽△DOC．

∴∠PDC=∠DOC，

∵∠DOC+∠ODC=90°，

∴∠PDC+∠ODC=90°，

∴PD是⊙O的切线．

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题型：填空题

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填空题

如图，△ABC是圆的内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D．若∠ABC=60°，PD=1，BD=8，则∠PAC=______°，PA=______．

正确答案

60

3

解析

解：∵PD=1，BD=8，

∴PB=PD+BD=9

由切割线定理得PA2=PD•PB=9

∴PA=3

又∵PE=PA

∴PE=3

又∠PAC=∠ABC=60°

故答案：60，3

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题型：填空题

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填空题

如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为______．

正确答案

解析

解：∵D是BC的中点，DE∥AC，∴AE=BE，且∠BDE=∠C．

又∵PA切圆O于点A，∴∠PAE=∠C，可得∠BDE=∠PAE．

∵∠BED=∠PEA，

∴△BED∽△PEA，可得，

∴AE2=BE•AE=PE•ED=6．

由此解出AE=．

∵AE2=GE•EF，∴GE=2，

∴PG=1，

∴PA2=PG•PF=6，

∴PA=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．

（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

（Ⅱ）若AD=2，AE=6，求EC的长．

正确答案

证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，

∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…（3分）

∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线． …（5分）

（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，即，

解得，…（7分）

∴OA=2OE，

∴∠A=30°，∠AOE=60°．

∴∠CBE=∠OBE=30°．

∴在Rt△BCE中，可得EC=． …（10分）

解析

证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连接OE．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，

∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…（3分）

∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线． …（5分）

（Ⅱ）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，OA2=OE2+AE2，即，

解得，…（7分）

∴OA=2OE，

∴∠A=30°，∠AOE=60°．

∴∠CBE=∠OBE=30°．

∴在Rt△BCE中，可得EC=． …（10分）

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题型：填空题

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填空题

如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，直线PO交圆O于B，C两点，AC=1，∠BAP=120°，则圆O的面积为______．

正确答案

π

解析

解：∵PA是圆O的切线，

∴OA⊥AP．

又∵∠PAB=120°，

∴∠BAO=∠ABO=30°．

又∵在Rt△ABC中，AC=1，

∴BC=2，即圆O的直径2R=2，

∴圆O的面积S=πR2=π，

故答案为：π．

1

题型：简答题

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简答题

圆的两条弦AB、CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线DA的延长线交于点P，再从点P引这个圆的切线，切点是Q．求证：PF=PQ．

正确答案

解：∵ABCD四点共线

∴∠ADF=∠ABC

又∵PF∥BC

∴∠AFP=∠FDP

又∵∠CPF=∠FPD

∴△APF∽△FPD

∴

∴PF2=PA•PD

又PQ与圆相切

∴PQ2=PA•PD

∴QF2=PQ2

∴PF=PQ

解析

解：∵ABCD四点共线

∴∠ADF=∠ABC

又∵PF∥BC

∴∠AFP=∠FDP

又∵∠CPF=∠FPD

∴△APF∽△FPD

∴

∴PF2=PA•PD

又PQ与圆相切

∴PQ2=PA•PD

∴QF2=PQ2

∴PF=PQ

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