- 圆与方程
- 共4684题
正确答案
解：如图，连接OD、OE，则∠ODA=∠OFA=90°；
⊙O中，∠DOF=2∠DEF=2×54°=108°；
四边形ADEF中，∠ODA=∠OFA=90°，
∴∠BAC+∠DOF=180°，
即∠BAC=180°-∠DOF=72°．
故答案为：72°．
解析
解：如图，连接OD、OE，则∠ODA=∠OFA=90°；
⊙O中，∠DOF=2∠DEF=2×54°=108°；
四边形ADEF中，∠ODA=∠OFA=90°，
∴∠BAC+∠DOF=180°，
即∠BAC=180°-∠DOF=72°．
故答案为：72°．
（Ⅰ）求证：AD∥EC；
（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．
正确答案
解：（I）证明：连接AB，
∵AC是⊙O1的切线，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，
∴AD∥EC．
（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，
∴PA2=PB•PD，
∴62=PB•（PB+9）
∴PB=3，
在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，
∴PE=4，
∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，
∴AD2=DB•DE=9×16，
∴AD=12
解析
解：（I）证明：连接AB，
∵AC是⊙O1的切线，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，
∴AD∥EC．
（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，
∴PA2=PB•PD，
∴62=PB•（PB+9）
∴PB=3，
在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，
∴PE=4，
∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，
∴AD2=DB•DE=9×16，
∴AD=12
（1）求∠ADB的度数；
（2）若PA=2cm，求BC的长．
正确答案
解析
解：（1）∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠PAB=90°，
∵BD平分∠PBA，
∴∠ABD=
∴∠ADB=90°-∠ABD=75°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠PCA=∠ACB=90°；
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠PAC=∠PAB-∠BAC=30°；
在Rt△PAC中，
∵PA=2，∠PCA=90°，
∴PC=
在Rt△ABP中，
∵∠ABP=30°，∠PAB=90°，
∴PB=2AP=2×2=4，
∴BC=PB-PC=3（cm）．
正确答案
4
解析
解：将△POC绕P点按逆时针方向旋转60°，得△PED，
从而|OD|≤|OE|+|ED|=1+3=4．
故答案为：4．
（1）若∠OAB=35°，求∠AOB的度数；
（2）过点C作CD∥AB，若CD是⊙O的切线，求证：点C是 
正确答案
解析
∴∠OBA=∠OAB=35°．
∴∠AOB=110°．
（2）证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD又AB∥CD，
∴OC⊥AB．
∴
即C是 
（1）求证：△BAD∽△CED；
（2）求证：DE是⊙O的切线．
正确答案
解析
证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．（1分）
又∵BD=CD，
∴AB=AC，∠B=∠C．（2分）
∵∠CED=∠ADB=90°，
∴△BDA∽△CED．（3分）
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD∥AC．（5分）
又∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
所以DE是⊙O的切线．（6分）
正确答案
135°
解析
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA
∴∠POC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC
又∵∠APC的角平分线为PQ
∴∠OPQ=∠CPQ
在△OCP中，∠POC+∠OPC+∠OCP=2（∠OAC+∠OPQ）+∠OCP=180°
又∵∠OCP=90°
∴∠OAC+∠OPQ=45°
∵∠CQP=∠OAC+∠OPQ=45°
∴∠AQP=135°
故答案为：135°
正确答案
解析
解：∵AB是直径，∴∠ACB为直角，
∵BC=
∵DB与⊙O相切，
∴∠DBA为直角，
由射影定理得BC2=AC•CD，
∴CD=1，
∴DB2=DC•AD=3，
∴DB=
故答案为：
正确答案
解析
由题意可证△PCD≌△HCD（HL），
∴CH=CP；
还可以证明△ADP≌△BDH（AAS），
∴AD=DB；AP=BH．
因圆的直径不确定，而无法证明DH为圆的切线．
故选D．
正确答案
解析
∵AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，
又AB=6，BC=3，所以∠CAB=30°，AC=
由OA=OC得，∠ACO=∠CAB=30°，
∵OC∥AD，
∴∠CAD=∠ACO=30°，
∴CD=
正确答案
60°
解析
解：连接OO′，AO′，B0′，设圆的半径为r
根据切线的性质可得AO′⊥AO，BO′⊥BO
由两圆相外切可得，OO′=2r，AO′=BO′=r
∴∠AOO′=∠BOO′=30°，∠AO′B=2×60°=120°
由圆周角定理可得，
故答案为：60°
正确答案
解：设∠EAC=α，根据弦切角定理，∠ABE=α．
根据三角形外角定理，∠AEC=90°+α．
根据三角形内角和定理，∠ACE=90°-2α．
由于CD是∠ACB的内角平分线，所以FCE=45°-α．（5分）
再根据三角形内角和定理，∠CFE=180°-（90°+α）-（45°-α）=45°．（7分）
根据对顶角定理，∠AFD=45°．
由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．（10分）
解析
解：设∠EAC=α，根据弦切角定理，∠ABE=α．
根据三角形外角定理，∠AEC=90°+α．
根据三角形内角和定理，∠ACE=90°-2α．
由于CD是∠ACB的内角平分线，所以FCE=45°-α．（5分）
再根据三角形内角和定理，∠CFE=180°-（90°+α）-（45°-α）=45°．（7分）
根据对顶角定理，∠AFD=45°．
由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．（10分）
如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD．
（Ⅰ）求证：直线CE是⊙O的切线；（Ⅱ）求证：AC2=AB•AD．
正确答案
因为OA=OC，
所以∠OCA=∠OAC
又因为AD⊥CE，
所以∠ACD+∠CAD=90°，
又因为AC平分∠BAD，
所以∠OCA=∠CAD，
所以∠OCA+∠CAD=90°，
即OC⊥CE，
所以CE是⊙O的切线
（Ⅱ）连接BC，
因为AB是⊙O的直径，
所以∠BCA=∠ADC=90°，
因为CE是⊙O的切线，
所以∠B=∠ACD，
所以△ABC∽△ACD，
所以
即AC2=AB•AD．
解析
因为OA=OC，
所以∠OCA=∠OAC
又因为AD⊥CE，
所以∠ACD+∠CAD=90°，
又因为AC平分∠BAD，
所以∠OCA=∠CAD，
所以∠OCA+∠CAD=90°，
即OC⊥CE，
所以CE是⊙O的切线
（Ⅱ）连接BC，
因为AB是⊙O的直径，
所以∠BCA=∠ADC=90°，
因为CE是⊙O的切线，
所以∠B=∠ACD，
所以△ABC∽△ACD，
所以
即AC2=AB•AD．
（Ⅰ）求证：DE2=DB•DA．
（Ⅱ）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．
正确答案
∵∠OFC=∠OCF，
∵DF是⊙O的切线，
∴OF⊥DF，
又∵OC垂直于弦AB，
∴∠AEC=∠DFE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，∵DF是⊙O的切线，
∴DF2=DB•DA，∴DE2=DB•DA
（II）设AE=x，
则DE=2x，DF=2x，
∵DF2=DB•DA，
∴（2x）2=3x（2x-1），
解得2x=3，
∴DF的长为3．
解析
∵∠OFC=∠OCF，
∵DF是⊙O的切线，
∴OF⊥DF，
又∵OC垂直于弦AB，
∴∠AEC=∠DFE，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，∵DF是⊙O的切线，
∴DF2=DB•DA，∴DE2=DB•DA
（II）设AE=x，
则DE=2x，DF=2x，
∵DF2=DB•DA，
∴（2x）2=3x（2x-1），
解得2x=3，
∴DF的长为3．
正确答案
解析
∵弦AB与小半圆相切，AB∥CD，
∴OE⊥AB，EB=
在Rt△OBE中，
OB2=OE2+EB2，
∴OB2-OE2=EB2=64，
S阴影=
故图中阴影部分的面积为32πcm2．
故选C．
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