圆与方程_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

如图，圆O和圆O‘相交于A，B两点，AC是圆O'的切线，AD是圆O的切线，若BC=2，AB=4，则BD=______．

正确答案

8

解析

解：因为AC是圆O′的切线，

∴∠CAB=∠D，

∵AD是圆O的切线，

∴∠BAD=∠C，

∴△ABC∽△DBA，

∴=，又BC=2，AB=4，

∴BD==8

故答案为：8

1

题型：简答题

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简答题

如图：AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H．

（Ⅰ）求证：C，D，E，F四点共圆；

（Ⅱ）若GH=6，GE=4，求EF的长．

正确答案

证明：（1）连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，

在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，

又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE．

∴C，D，E，F四点共圆；

（2）∵C，D，E，F四点共圆，∴GE•GF=GC•GD．

∵GH是⊙O的切线，∴GH2=GC•GD，∴GH2=GE•GF．

又因为GH=6，GE=4，所以GF=9．

∴EF=GF-GE=9-4=5．

解析

证明：（1）连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，

在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，

又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE．

∴C，D，E，F四点共圆；

（2）∵C，D，E，F四点共圆，∴GE•GF=GC•GD．

∵GH是⊙O的切线，∴GH2=GC•GD，∴GH2=GE•GF．

又因为GH=6，GE=4，所以GF=9．

∴EF=GF-GE=9-4=5．

1

题型：简答题

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简答题

如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AD•AB=AE•AC

（1）求证：B，C，D，E四点共圆

（2）若三角形ABC是边长为3的正三角形，且AD=1，求B，C，D，E四点所在的圆的半径．

正确答案

（1）证明：∵AD•AB=AE•AC，

∴

又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB

∴C，B，D，E四点共圆．

（2）解：由题意，BCED是等腰梯形，且高为．

设C，B，D，E四点共圆的半径为r，

则=，

∴r=，

∴B，C，D，E四点所在的圆的半径为．

解析

（1）证明：∵AD•AB=AE•AC，

∴

又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB

∴C，B，D，E四点共圆．

（2）解：由题意，BCED是等腰梯形，且高为．

设C，B，D，E四点共圆的半径为r，

则=，

∴r=，

∴B，C，D，E四点所在的圆的半径为．

1

题型：填空题

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填空题

如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2cm，

AD=4cm．

（1）求：⊙O的直径BE的长；

（2）计算：△ABC的面积．

正确答案

解析

解：（1）∵AD是切线，AEB是圆的割线，

∴AD2=AE•AB=AE（AE+BE），解得BE=6cm；

（2）∵∠B=90°，

∴CB也是圆的切线，

∵CD也是圆的切线，则有CD=BC，

在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2+BC2=AC2即82+BC2=（4+BC）2，解得BC=6cm，

∴S△ABC=AB•BC=24cm2．

1

题型：填空题

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填空题

过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=______．

正确答案

4

解析

解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，

∴△PAB∽△PCA，

∴，

∵PA=6，AC=8，BC=9，

∴，

∴PB=3，AB=4，

故答案为：4．

1

题型：简答题

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简答题

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4，

（1）求PF的长度．

（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．

正确答案

解：（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系

结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，

又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，

从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴

由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故．

（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF=2-r=1即r=1

所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT

则PT2=PB•PO=2×4=8，即

解析

解：（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系

结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，

又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，

从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴

由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故．

（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF=2-r=1即r=1

所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT

则PT2=PB•PO=2×4=8，即

1

题型：填空题

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填空题

如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，∠的角平分线交圆于点，垂直交圆于点．

（Ⅰ）证明：DB=DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

正确答案

解析

（I）证明：如图所示，连接DE．

∵DB垂直交圆于点D，∴∠DBE=90°．

∴DE为圆的直径．

∵∠的角平分线交圆于点E，

∴，

∴∠DCB=∠DBC，

∴DB=DC．

（II）解：由（I）可知：DE⊥BC，且平分BC，设中点为M，外接圆的圆心为点O．

连接OB，OC，则OB⊥AB．

在Rt△BOM中，OB=1，BM=BC=．

∴∠OBM=30°，∠BOE=60°．

∴∠CBA=60°．

∴．

∴∠BFC=90°．

∴△BCF外接圆的半径==．

1

题型：简答题

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简答题

如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠OBA=75°，⊙O的半径为1，

则OC的长等______．

正确答案

解：设BC的长为x，则OC的长为1+x，

∵OA=OB，∠OBA=75°，

∴∠AOC=180°-75°×2=30°．

∴AC=sin∠AOC×OC=（1+x）．

在Rt△OAC中，OC2=OA2+AC2

即（1+x）2=12+（）2

∴x=-1+（舍负值）．

∴OC=OB+BC=．

故答案为：．

解析

解：设BC的长为x，则OC的长为1+x，

∵OA=OB，∠OBA=75°，

∴∠AOC=180°-75°×2=30°．

∴AC=sin∠AOC×OC=（1+x）．

在Rt△OAC中，OC2=OA2+AC2

即（1+x）2=12+（）2

∴x=-1+（舍负值）．

∴OC=OB+BC=．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，垂足为A，以腰BC为直径的半圆O切AD于点E，连接BE，若BC=6，∠EBC=30°，则梯形ABCD的面积为______．

正确答案

9

解析

解：如图连接EC，

∵BC为半圆O的直径，

∴BE⊥EC（1分）

∵∠EBC=30°，

∴EC=BC=×6=3

连接OE，∴OE=OB=3，∠BEO=30°

∵AD与⊙O相切于点E，∴OE⊥AD

∴∠OEC=60°，∴∠DEC=30°

∴DC=EC=∴DE=（3分）

∵OE∥DC∥AB，OC=OB，

∴OE是梯形的中位线∴AE=DE=（5分）

∴AD=2DE=3

∵AD⊥AB，

∴DA为梯形ABCD的高

∴S梯形ABCD=OE•AD=3×3 ．（7分）

故答案为：9．

1

题型：单选题

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单选题

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，AB=35，PD=40，则过点P的⊙O的切线长是（　　）

A60

B40

C35

D50

正确答案

A

解析

解：作切线PE，由切割线定理知，PE2=PD•PC=PA•PB，所以，

又△PAD与△PBC有公共角P，∠PDA=∠PBC，所以△PAD∽△PBC．

故，即所以PB=80，

又AB=35，PE2=PA•PB=（PB-AB）•PB=（80-35）×80=602，

PE=60．

故选A．

1

题型：填空题

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填空题

如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC=4，则AD=______．

正确答案

解析

解：因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADO=∠ACB=90° 又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，

所以，因为BC=2OC=2OD．

所以AC=2AD．

设AD=x，则OA=，

所以+2=2x，

所以x=．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为______．

正确答案

解析

解：∵圆O的半径为3，

圆心O到AC的距离为2

∴BC=2=2

又∵AB=3，∴AC=5

又∵AD为圆O的切线

ABC为圆O的割线

由切割线定理得：

AD2=AB•AC=3×5=15

∴AD=

1

题型：填空题

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填空题

如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD=2，AC=6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为______．

正确答案

解析

解：连接OB，过O点向AC引垂线，垂足为E，

∵AD=2，AC=6，由切割线定理可得，

AD2=AC•AB，∴AB=2，

∴BC=4，

由垂径定理得BE=2．

又∵R=OB=3，

∴OE=，

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

如图，已知AP平分∠BAC，过P点的切线交AC的延长线于D，如果AB=3cm，AD=6cm，那么AP=______cm．

正确答案

解：连接BP；

∵∠APD=∠ABP，AP平分∠BAC，

∴△ABP∽△APD，

∴；

∵AB=3cm，AD=6cm，

∴AP=3cm．

故填：3．

解析

解：连接BP；

∵∠APD=∠ABP，AP平分∠BAC，

∴△ABP∽△APD，

∴；

∵AB=3cm，AD=6cm，

∴AP=3cm．

故填：3．

1

题型：填空题

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填空题

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O与AC相切于F，AB=AC=5cm，sinA=，求⊙O的半径的长．

正确答案

解析

证明：（1）连接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC．

又DE⊥AC，

∴DE⊥OD．

∴DE是⊙O的切线．

（2）解：⊙O与AC相切于F点，连接OF，

则：OF⊥AC．

在Rt△OAF中，sinA=，

∴OA=OF，

又AB=OA+OB=5，

∴．

∴OF=cm．

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