- 圆与方程
- 共4684题
如图，AB切圆O于B，AB=
正确答案
解：设圆的半径为r，由切割线定理可得：AB2=AC•（AC+2r），
∴3=1×（1+2r），解得r=1．
∴AO=AC+r=1+1=2．
解析
解：设圆的半径为r，由切割线定理可得：AB2=AC•（AC+2r），
∴3=1×（1+2r），解得r=1．
∴AO=AC+r=1+1=2．
A．（坐标系与参数方程选做题）曲线
B．（不等式选讲选做题）设函数
C．（几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AC=6，圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为
正确答案
2
（-∞，3]
2
解析
解：A、由题设知：把参数方程消去参数化为普通方程得 x2+（y-1）2=1，圆心坐标为（0，1），半径为1；
把极坐标方程化为直角方程得 x2+y2-2x=0，即（x-1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），半径为1；
∵两圆心距为2，且0=1-1＜
B、∵函数
∴|x+1|+|x-2|-a≥0的解集为R
∴a≤|x+1|+|x-2|恒成立
∵|x+1|+|x-2|≤3
∴a≤3
C、过O作OE⊥AC，垂足为E，则E是BC的中点
∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为
∴EC=2，∴BC=4
∵AC=6，∴AB=2
∵圆的切线为AD和割线为ABC
∴AD2=AB×AC
∴
故答案为：2；（-∞，3]；
A
B
C
D
正确答案
解析
∵∠C=90°
∴CM=r，
∵△AOM∽△ADC，
∴OM：CD=AM：AC，
即r：1=（4-r）：4，
解得r=
故选A．
（1）求证：CA=CD；
（2）求⊙O的半径．
正确答案
解析
解：
（1）连接OC．
∴∠OCD=90°．
又∵∠ACD=120°，
∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=120°-90°=30°．
∵OC=OA，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°．
∴∠D=30°，
∴CA=DC．
（2）∵sin∠D=
sin∠D=sin30°=
∴
解得OB=10．
即⊙O的半径为10．
如图，已知圆上的
（Ⅰ）证明：∠ACE=∠BCD；
（Ⅱ）若BE=9，CD=1，求BC的长．
正确答案
（Ⅰ）证明：∵
又∵EC为圆的切线，∴∠ACE=∠ABC，
∴∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）∵EC为圆的切线，∴∠CDB=∠BCE，
由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．
∴△BEC∽△CBD，∴
∴BC2=CD•EB=1×9=9，解得BC=3．
解析
（Ⅰ）证明：∵
又∵EC为圆的切线，∴∠ACE=∠ABC，
∴∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）∵EC为圆的切线，∴∠CDB=∠BCE，
由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．
∴△BEC∽△CBD，∴
∴BC2=CD•EB=1×9=9，解得BC=3．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA=
正确答案
在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
连接OE，则∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，
由已知得AB=2
由射影定理可得AE2=CE•BE，
∴x2=
解方程可得x=
∴∠ACB=60°
解析
在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
连接OE，则∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）设CE=1，AE=x，
由已知得AB=2
由射影定理可得AE2=CE•BE，
∴x2=
解方程可得x=
∴∠ACB=60°
正确答案
3
解析
解：∵圆C的半径为2，∠CAB=30°，
∴
又∵BA=2AP，
∴
又∵PT与圆C相切于T点．
由切割线定理可得：
PT2=PA•PB=9，
∴PT=3
故答案为：3．
△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，则∠FDE与 
A∠FDE+
B∠FDE=
C∠FDE+
D无法确定
正确答案
解析
解：连接IE，IF，则有∠AEI=∠IFA=90°，
∴∠EIF=180°-∠A，
∴∠FDE=
∴∠FDE+
故选A．
正确答案
解析
解：∵易知AB=
又由切割线定理得BC2=BD•AB，
∴42=BD•5，
∴BD=
故答案为：
（1）求证：AD∥OC；
（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．
正确答案
∵CB、CD是⊙O的两条切线，
∴BD⊥OC，
∴∠2+∠3=90°
又AB为⊙O直径，
∴AD⊥DB，
∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴AD∥OC；
（2）AO=OD，
则∠1=∠A=∠3，
∴Rt△BAD∽Rt△ODC，
AD•OC=AB•OD=2．
解析
∵CB、CD是⊙O的两条切线，
∴BD⊥OC，
∴∠2+∠3=90°
又AB为⊙O直径，
∴AD⊥DB，
∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∴AD∥OC；
（2）AO=OD，
则∠1=∠A=∠3，
∴Rt△BAD∽Rt△ODC，
AD•OC=AB•OD=2．
正确答案
解析
解：由EC，EB分别是圆的切线，可得EC=EB=3，∴AC=7．
∵BE⊥AE，∴∠AEB=Rt∠．
在Rt△AEB中，由勾股定理可得
由切割线定理得AC2=AD•AB，∴
故DB=AD-AB=
故答案为：
（1）求证：圆心O在直线AD上．
（2）求证：点C是线段GD的中点．
正确答案
∴CD=BE
又∵CF=CD，BD=BE
∴CF=BD
又∵△ABC是等腰三角形，
∴AD是∠CAB的角分线
∴圆心O在直线AD上．（5分）
（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，
∴∠HFD=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°
又∵∠G+∠FHD=90°
∴∠FDH=∠G
∵⊙O与AC相切于点F
∴∠AFH=∠GFC=∠FDH
∴∠GFC=∠G
∴CG=CF=CD
∴点C是线段GD的中点．（10分）
解析
∴CD=BE
又∵CF=CD，BD=BE
∴CF=BD
又∵△ABC是等腰三角形，
∴AD是∠CAB的角分线
∴圆心O在直线AD上．（5分）
（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，
∴∠HFD=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°
又∵∠G+∠FHD=90°
∴∠FDH=∠G
∵⊙O与AC相切于点F
∴∠AFH=∠GFC=∠FDH
∴∠GFC=∠G
∴CG=CF=CD
∴点C是线段GD的中点．（10分）
A10 
B16
C10 
D18
正确答案
解析
解：∵AE切⊙D于点E，
∴∠AED=90°，
∵AC=CD=DB=10，
∴AD=20，DE=10，
∴AE=
故选C．
（1）求∠P的大小；
（2）若AB=6，求PA的长．
正确答案
解：（1）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．
∵∠BAC=30°，∴∠PAC=90°-30°=60°．
又∵PA、PC切⊙O于点A、C，
∴PA=PC，可得△PAC是等边三角形，得∠P=60°．
（2）如图，连结BC．
∵AB是直径，∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30°，
可得AC=ABcos∠BAC=6×cos30°=3
又∵△PAC是等边三角形，∴PA=AC=3
解析
解：（1）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．
∵∠BAC=30°，∴∠PAC=90°-30°=60°．
又∵PA、PC切⊙O于点A、C，
∴PA=PC，可得△PAC是等边三角形，得∠P=60°．
（2）如图，连结BC．
∵AB是直径，∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30°，
可得AC=ABcos∠BAC=6×cos30°=3
又∵△PAC是等边三角形，∴PA=AC=3
（1）判断直线CD是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD=
正确答案
解析
证明：连接OD
∵∠ADE=60°，∠C=30°
∴∠A=30°
∵OA=OD
∴∠ODA=∠A=30°
∴∠ODE=∠ODA+∠ADE=30°+60°=90°
∴OD⊥CD
∴CD是⊙O的切线；
（2）在Rt△ODC中，∠ODC=90°，∠C=30°，CD=3
∵tanC=
∴OD=CD•tanC=3 
∴OC=2OD=6
∵OB=OD=3
∴BC=OC-OB=6-3=3．
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