- 圆与方程
- 共4684题
正确答案
解析
∵A点切线BA和AD的交点，D点为过C点的切线和切线AD的交点，
∴△ABO≌△APO，△COD≌△POD，
∴2∠DOP+2∠AOP=180°，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOB+∠COD=90°，
∵∠AOB+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠DOC，
∵∠ABO=∠OCD=90°，
∴△ABO∽△OCD．
A
B
C2
D3
正确答案
解析
由垂径定理可证得点E，点D分别是AC，BC的中点，
由弦切角定理知，
∠ABC=∠FCB=
∵AO1∥O2B，
∴∠AO1C+∠BO2C=180°，
∴∠FCB+∠FCA=∠ACB=90°，
即△ACB是直角三角形，
∴∠ABC=∠BO2D=∠ACO1，
设∠ABC=∠BO2D=∠ACO1=β，
则有sinβ=
∴tanβ=
∴（tanβ）2=
故选C．
正确答案
解析
解：如图所示．
连接BC，EF．∵DC是△ABC的外接圆的切线，∴∠DCB=∠EAF．
∵BC•AE=DC•AF，∴
∴△BCD≌△FAE．
∴∠CBD=∠AFE．
∵E，F，C四点共圆．
∴∠AFE=∠CBE．
∴∠CBD=∠CBE．
又∵∠CBD+∠CBE=180°，∴∠CBE=90°．
∴AC是△ABC的外接圆的直径，CE是E，F，C四点所在圆的直径．
不妨设DB=1．则BE=EA=DB=1．
由切割线定理可得：DC2=DB•DA=1×3，
在△DCE中，由DB=BE，CB⊥DE．∴CE=DC=
在Rt△CBE中，CB2=CE2-BE2=
在Rt△ABC中，AC2=BC2+AB2=2+22=6．
∴过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值=
故答案为：
B．如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为CPC=2
C．（极坐标系与参数方程选做题）若圆C：
正确答案
（-2，-1）∪（2，+∞）
4
3或-1
解析
解：A、不等式
（x+2）（x+1）（x-2）＞0
解得：-2＜x＜-1或x＞2
故答案为：（-2，-1）∪（2，+∞）
B、∵AB是⊙O的直径，∠CAP=30°，
∴△OPC是以∠OCP为直角，∠P=30°的直角三角形
又∵PC=2
∴圆的半径OC=2
故圆的直径为4
故答案为4
C、由圆C：
我们易求出圆的标准方程为：
（x-1）2+（y-2）2=2
又∵圆C与直线x-y+m=0相切
∴圆心（1，2）直线的距离d等于半径r
即d=
解得m=3或-1
故答案为：3或-1
正确答案
解析
则∠ACD=∠ABC，
又因为∠ADC=∠ACB=90°，
所以△ACD～△ACB，
所以
解得AC=
故填：
（1）D、E、C、F四点共圆；
（2）GE⊥AB．
正确答案
∴四点O，D，G，C共圆．
设∠CAB=∠1，∠DBA=∠2，∠ACO=∠3，
∠COB=2∠1，∠DOA=2∠2．
∴∠DGC=180°-∠DOC=2（∠1+∠2）．
∵DG=GF，DG=CG．
∴GF=GC．
∴∠GCF=∠F．
∵∠DGC=2∠F，∴∠F=∠1+∠2．
又∵∠DEC=∠AEB=180°-（∠1+∠2），
∴∠DEC+∠F=180°，
∴D，E，C，F四点共圆．
（Ⅱ）延长GE交AB于H．
∵GD=GC=GF，∴点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心．
∴GE=GC，∴∠GCE=∠GEC．
又∵∠GCE+∠3=90°，∠1=∠3，
∴∠GEC+∠3=90°，∴∠AEH+∠1=90°，
∴∠EHA=90°，即GE⊥AB．
解析
∴四点O，D，G，C共圆．
设∠CAB=∠1，∠DBA=∠2，∠ACO=∠3，
∠COB=2∠1，∠DOA=2∠2．
∴∠DGC=180°-∠DOC=2（∠1+∠2）．
∵DG=GF，DG=CG．
∴GF=GC．
∴∠GCF=∠F．
∵∠DGC=2∠F，∴∠F=∠1+∠2．
又∵∠DEC=∠AEB=180°-（∠1+∠2），
∴∠DEC+∠F=180°，
∴D，E，C，F四点共圆．
（Ⅱ）延长GE交AB于H．
∵GD=GC=GF，∴点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心．
∴GE=GC，∴∠GCE=∠GEC．
又∵∠GCE+∠3=90°，∠1=∠3，
∴∠GEC+∠3=90°，∴∠AEH+∠1=90°，
∴∠EHA=90°，即GE⊥AB．
A．（几何证明选讲）
如图，已知两圆交于A、B两点，过点A、B的直线分别与两圆交于P、Q和M、N．求证：PM∥QN．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵A的逆矩阵A-1=
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，过椭圆
D．（不等式选讲）
已知关于x的不等式|x-a|+1-x＞0的解集为R，求实数a的取值范围．
正确答案
所以∠APM+∠AQN=π，
又点P，A，Q三点共线，
故PM∥QN．
B．设
解得
C．设
则矩形PMON周长的一半为：
所以，当
此时，点P（3，1）．
D．证明：若x-1＜0，则a∈R；
若x-1≥0，则（x-a）2＞（x-1）2对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
即（a-1）[（a+1）-2x]＞0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
所以
解得a＜1．
解析
所以∠APM+∠AQN=π，
又点P，A，Q三点共线，
故PM∥QN．
B．设
解得
C．设
则矩形PMON周长的一半为：
所以，当
此时，点P（3，1）．
D．证明：若x-1＜0，则a∈R；
若x-1≥0，则（x-a）2＞（x-1）2对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
即（a-1）[（a+1）-2x]＞0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
所以
解得a＜1．
（Ⅰ）∠BAC=CAG；
（Ⅱ）AC2=AE•AF．
正确答案
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠AGC=90°．（2分）
∵GC切圆O于C，
∴∠GCA=∠ABC．（4分）
∴∠BAC=∠CAG．（5分）
（Ⅱ）连接CF，∵EC切圆O于C，∴∠ACE=∠AFC．（6分）
又∠BAC=∠CAG，∴△ACF∽△AEC．（8分）
∴
解析
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠AGC=90°．（2分）
∵GC切圆O于C，
∴∠GCA=∠ABC．（4分）
∴∠BAC=∠CAG．（5分）
（Ⅱ）连接CF，∵EC切圆O于C，∴∠ACE=∠AFC．（6分）
又∠BAC=∠CAG，∴△ACF∽△AEC．（8分）
∴
正确答案
AB⊥CD于E，根据垂径定理得到DE=4，
在直角△ODE中，根据勾股定理得到OE=3，因而AE=8，
易证△ABF∽△AED，得到
解得BF=5．
故填：5．
解析
AB⊥CD于E，根据垂径定理得到DE=4，
在直角△ODE中，根据勾股定理得到OE=3，因而AE=8，
易证△ABF∽△AED，得到
解得BF=5．
故填：5．
正确答案
因为AB，CD是外离两圆⊙O1，与⊙O2的外公共切线，
所以△O1AC∽△O2BD，
所以∠O1CA=∠O2BD，
所以∠ACD+∠ABD=∠O1CA+∠OCD+∠OBA-∠O2BD=180°，
所以A，B，C，D四点共圆．
解析
因为AB，CD是外离两圆⊙O1，与⊙O2的外公共切线，
所以△O1AC∽△O2BD，
所以∠O1CA=∠O2BD，
所以∠ACD+∠ABD=∠O1CA+∠OCD+∠OBA-∠O2BD=180°，
所以A，B，C，D四点共圆．
正确答案
又OA=OD，DA=DC，
所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，
所以OC=2OD，
即OB=BC=OD=OA，
所以AB=2BC．
证法二：连接OD、BD．
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90°，
AB=2OB．
因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=90°．
又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO．
即2OB=OB+BC，得OB=BC．故AB=2BC．
解析
又OA=OD，DA=DC，
所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，
所以OC=2OD，
即OB=BC=OD=OA，
所以AB=2BC．
证法二：连接OD、BD．
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90°，
AB=2OB．
因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=90°．
又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO．
即2OB=OB+BC，得OB=BC．故AB=2BC．
正确答案
解析
解：∵DA，CB，DC与以AB为直径的半圆分别相切于点A、B、E
∴DA=DE，CB=CE
∵BC：AD=1：2，CD=3cm
∴BC=1，AD=2，
∴圆的直径是
∴四边形的面积是
故答案为：3
正确答案
解析
在△O1O2H中，O1O2=20，O2H=（r+h）-r=4．
可得O1H2=O1O22-O2H2=202-42
在△O1OH中，OO12-OH2=O1H2
又OO1=R-10，OH=R-14，
可得202-42=（R-10）2-（R-14）2
∴R=60（mm）；
故选C
求证：DC是⊙O的切线．
正确答案
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵AD∥OC，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．
∴∠BOC=∠COD．
∵OB=OD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC．
∴∠OBC=∠ODC，又BC是⊙O的切线．
∴∠OBC=90°．
∴∠ODC=90°．
∴DC是⊙O的切线．
解析
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵AD∥OC，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．
∴∠BOC=∠COD．
∵OB=OD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC．
∴∠OBC=∠ODC，又BC是⊙O的切线．
∴∠OBC=90°．
∴∠ODC=90°．
∴DC是⊙O的切线．
正确答案
证明：连接OD，
∵AD=CD，∴∠A=∠C=30°
又∵OD=OA，∴∠A=∠ODA=30°
∴∠DOC=60°，∴∠ODC=90°
又OD⊥CD，
∴DC是⊙O的切线．
解析
证明：连接OD，
∵AD=CD，∴∠A=∠C=30°
又∵OD=OA，∴∠A=∠ODA=30°
∴∠DOC=60°，∴∠ODC=90°
又OD⊥CD，
∴DC是⊙O的切线．
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