圆与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：

（I）∠FEB=∠CEB；

（II）EF2=AD•BC．

正确答案

证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．

∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．

∴∠EAB+∠EBA=90°．

∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．

∴∠FEB=∠EAB．

∴∠CEB=∠EAB．

（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，

又∠CEB=∠FEB，EB公用．

∴△CEB≌△FEB．

∴CB=FB．

同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．

在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB．

∴EF2=AD•CB．

解析

证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．

∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．

∴∠EAB+∠EBA=90°．

∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．

∴∠FEB=∠EAB．

∴∠CEB=∠EAB．

（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，

又∠CEB=∠FEB，EB公用．

∴△CEB≌△FEB．

∴CB=FB．

同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．

在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB．

∴EF2=AD•CB．

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题型：简答题

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简答题

如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求图中阴影部分的面积．

正确答案

（1）证明：连接OC，OC交BD于E，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∵∠CDB=∠OBD，

∴CD∥AB，

又∵AC∥BD，

∴四边形ABDC为平行四边形，

∴∠A=∠D=30°，

∴∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC，

又∵OC是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，∴△OEB≌△CED（AAS），∴S阴影=S扇形BOC．

∴S阴影==6π．

答：阴影部分的面积是6π．

解析

（1）证明：连接OC，OC交BD于E，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∵∠CDB=∠OBD，

∴CD∥AB，

又∵AC∥BD，

∴四边形ABDC为平行四边形，

∴∠A=∠D=30°，

∴∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC，

又∵OC是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，∴△OEB≌△CED（AAS），∴S阴影=S扇形BOC．

∴S阴影==6π．

答：阴影部分的面积是6π．

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题型：简答题

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简答题

如图，AB是⊙O的直径，C、F为⊙O上的点，且CA平分∠BAF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．求证：DC是⊙O的切线．

正确答案

证明：连接OC，

∵OA=OC=R

所以∠OAC=∠OCA．

又因为CA平分∠BAF，

所以∠OAC=∠FAC，

于是∠FAC=∠OCA，

所以OC∥AD．

又因为CD⊥AF，

所以CD⊥OC，

故DC是⊙O的切线．

解析

证明：连接OC，

∵OA=OC=R

所以∠OAC=∠OCA．

又因为CA平分∠BAF，

所以∠OAC=∠FAC，

于是∠FAC=∠OCA，

所以OC∥AD．

又因为CD⊥AF，

所以CD⊥OC，

故DC是⊙O的切线．

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲选做题）如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于C，DF⊥EB于点F，若BC=6，AC=8，则DF=______．

正确答案

3

解析

解：连接OD，设半径为x．

∵BC=6，AC=8，

∴AB=10

∵AC切半圆O于点D，

∴OD⊥AC，AEAC

又∵BC⊥AC于C，

∴OD∥BC，⇒⇒x=．

则△AOD∽△ABC

则

∴AE=，AD=5

∵sin∠DAE=，

∴DF===3．

故答案为：3．

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题型：填空题

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填空题

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30度．

（1）求∠APB的度数；

（2）当OA=3时，求AP的长．

正确答案

解析

解：（1）方法一：

∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，

∴∠AOB=180°-2×30°=120°，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，

∴在四边形OAPB中，

∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．

方法二：

∵PA、PB是⊙O的切线∴PA=PB，OA⊥PA；

∵∠OAB=30°，OA⊥PA，

∴∠BAP=90°-30°=60°，

∴△ABP是等边三角形，

∴∠APB=60°．

（2）方法一：如图①，连接OP；

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，

又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，

∴AP==3 ．

方法二：如图②，作OD⊥AB交AB于点D；

∵在△OAB中，OA=OB，

∴AD=AB；

∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30°，

∴AD=OA•cos30°=，

∴AP=AB=．

1

题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以BC为直径的圆O交AC于点D，设E为AB的中点．

（1）求证：直线DE为圆O的切线；

（2）设CE交圆O于点F，求证：CD•CA=CF•CE．

正确答案

证明：（1）连接BD，OD，OE，则∠BDC=∠BDA=90°，

∵E为AB的中点，∴=BE，

∴OD2+DE2=OB2+BE2=OE2，∴∠ODE=90°．

∴直线DE为圆O的切线；

（2）连接BF，∵BC为⊙O的直径，∴BF⊥CE，

∴在RT△BCE中，CF•CE=BC2，

同理在RT△ABC中，CD•CA=BC2，

∴CD•CA=CF•CB．

解析

证明：（1）连接BD，OD，OE，则∠BDC=∠BDA=90°，

∵E为AB的中点，∴=BE，

∴OD2+DE2=OB2+BE2=OE2，∴∠ODE=90°．

∴直线DE为圆O的切线；

（2）连接BF，∵BC为⊙O的直径，∴BF⊥CE，

∴在RT△BCE中，CF•CE=BC2，

同理在RT△ABC中，CD•CA=BC2，

∴CD•CA=CF•CB．

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．

求证：BT平分∠OBA．

正确答案

证明：连结OT，因为AT是切线，所以OT⊥AP．

又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA=∠BTO．

又OT=OB，所以∠OTB=∠OBT，

所以∠OBT=∠TBA，

即BT平分∠OBA．

解析

证明：连结OT，因为AT是切线，所以OT⊥AP．

又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA=∠BTO．

又OT=OB，所以∠OTB=∠OBT，

所以∠OBT=∠TBA，

即BT平分∠OBA．

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题型：简答题

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简答题

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延长线于点E，OE交AD于点F．

（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若，求的值．

正确答案

证明：（Ⅰ）连接OD，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD

∵∠BAC的平分线是AD

∴∠OAD=∠DAC

∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…（3分）

又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD

∵OD是⊙O的半径

∴DE是⊙O的切线．…（5分）

（Ⅱ）连接BC、DB，过D作DH⊥AB于H，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

Rt△ABC中，

∵OD∥AE，∴∠DOH=∠CAB，

∴．

∵Rt△HOD中，，

∴，设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，

∴Rt△HOD中，DH==4x，AH=AO+OH=8x，

Rt△HAD中，AD2=AH2+DH2=80x2…（8分）

∵∠BAD=∠DAE，∠AED=∠ADB=90°

∴△ADE∽△ADB，可得，

∴AD2=AE•AB=AE•10x，而AD2=80x2

∴AE=8x

又∵OD∥AE，

∴△AEF∽△ODF，可得…（10分）

解析

证明：（Ⅰ）连接OD，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD

∵∠BAC的平分线是AD

∴∠OAD=∠DAC

∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…（3分）

又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD

∵OD是⊙O的半径

∴DE是⊙O的切线．…（5分）

（Ⅱ）连接BC、DB，过D作DH⊥AB于H，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

Rt△ABC中，

∵OD∥AE，∴∠DOH=∠CAB，

∴．

∵Rt△HOD中，，

∴，设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，

∴Rt△HOD中，DH==4x，AH=AO+OH=8x，

Rt△HAD中，AD2=AH2+DH2=80x2…（8分）

∵∠BAD=∠DAE，∠AED=∠ADB=90°

∴△ADE∽△ADB，可得，

∴AD2=AE•AB=AE•10x，而AD2=80x2

∴AE=8x

又∵OD∥AE，

∴△AEF∽△ODF，可得…（10分）

1

题型：简答题

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简答题

如图，锐角△ABC内接于圆0．过圆心0且垂直于半径0A的直线分别交边AB、AC于点E、F．设圆0在B、C两点处的切线相交于点P．求证：直线AP平分线段EF．

正确答案

证明：过P作EF的平行线MN，分别交AB，AC的延长线于点M，N，则∠PMB=∠AEO=90°-∠OAE，

∵O是△ABC的外心，

∴∠OAE==90°-∠ACB，

∴∠PMB=∠ACB，

∵PB是圆O的切线，

∴∠PBM=∠ACB，

∴∠PMB=∠PBM，

∴PM=PB．

同理PN=PC，

∵PB=PC，

∴PM=PN，

∴AP平分线段MN，

∵EF∥MN，

∴直线AP平分线段EF．

解析

证明：过P作EF的平行线MN，分别交AB，AC的延长线于点M，N，则∠PMB=∠AEO=90°-∠OAE，

∵O是△ABC的外心，

∴∠OAE==90°-∠ACB，

∴∠PMB=∠ACB，

∵PB是圆O的切线，

∴∠PBM=∠ACB，

∴∠PMB=∠PBM，

∴PM=PB．

同理PN=PC，

∵PB=PC，

∴PM=PN，

∴AP平分线段MN，

∵EF∥MN，

∴直线AP平分线段EF．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD．

（Ⅰ）求证：直线CE是⊙O的切线；

（Ⅱ）求证：AC2=AB•AD．

正确答案

证明：（Ⅰ）连接OC，如下图所示：

因为OA=OC，

所以∠OCA=∠OAC．（2分）

又因为AD⊥CE，

所以∠ACD+∠CAD=90°，

又因为AC平分∠BAD，

所以∠OCA=∠CAD，（4分）

所以∠OCA+∠CAD=90°，

即OC⊥CE，

所以CE是⊙O的切线．（6分）

（Ⅱ）连接BC，

因为AB是⊙O的直径，

所以∠BCA=∠ADC=90°，

因为CE是⊙O的切线，

所以∠B=∠ACD，（8分）

所以△ABC∽△ACD，

所以，

即AC2=AB•AD．（10分）

解析

证明：（Ⅰ）连接OC，如下图所示：

因为OA=OC，

所以∠OCA=∠OAC．（2分）

又因为AD⊥CE，

所以∠ACD+∠CAD=90°，

又因为AC平分∠BAD，

所以∠OCA=∠CAD，（4分）

所以∠OCA+∠CAD=90°，

即OC⊥CE，

所以CE是⊙O的切线．（6分）

（Ⅱ）连接BC，

因为AB是⊙O的直径，

所以∠BCA=∠ADC=90°，

因为CE是⊙O的切线，

所以∠B=∠ACD，（8分）

所以△ABC∽△ACD，

所以，

即AC2=AB•AD．（10分）

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题型：填空题

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填空题

如图PM为圆O的切线，T为切点，，圆O的面积为2π，则PA=______．

正确答案

解析

解：连OT、BT，则：

∵PT是圆O的切线，

∴∠ABT=∠ATM=60°，∠PTO=90°，

∴在△BOT中，有∠BOT=60°

在直角三角形POT中，∵∠BOT=60°

∴PO=2BO，

∴PA=3AO，

∵圆O的面积为2π，∴AO=，

∴PA=3，

故填：．

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题型：填空题

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填空题

如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连接OC．

（1）求证：△CDQ是等腰三角形；

（2）如果△CDQ≌△COB，求BP：PO的值．

正确答案

解析

解：（1）由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°；

∵CD是⊙O的切线，CO是半径，

∴CD⊥CO，

∴∠DCQ=∠BCO=30°，

∴∠DCQ=∠Q，

故△CDQ是等腰三角形．

（2）设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，BC=．

∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，

∴CQ=BC=．

∴AQ=AC+CQ=1+，

∴AP=AQ=，

∴BP=AB-AP=，

∴PO=AP-AO=，

∴BP：PO=．

1

题型：简答题

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简答题

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G，

（1）求证：点F是BD中点；

（2）求证：CG是⊙O的切线；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

正确答案

解：

（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，

∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，

∴，

∵HE=EC，

∴BF=FD

（2）证明：连接CB、OC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°

∵F是BD中点，

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°，

又∵OC为圆O半径

∴CG是⊙O的切线．

（3）解：由FC=FB=FE得：

∠FCE=∠FEC，

∵∠FEC=∠AEH，

∴∠FCE=∠AEH，

∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，

∴∠G=∠FAB，

∴FA=FG，

∵FB⊥AG，

∴AB=BG．

由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2①

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2②

由①、②得：FG2-4FG-12=0，解之得：FG1=6，FG2=-2（舍去）

∴AB=BG=4，

∴⊙O半径为2．

解析

解：

（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，

∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，

∴，

∵HE=EC，

∴BF=FD

（2）证明：连接CB、OC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°

∵F是BD中点，

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°，

又∵OC为圆O半径

∴CG是⊙O的切线．

（3）解：由FC=FB=FE得：

∠FCE=∠FEC，

∵∠FEC=∠AEH，

∴∠FCE=∠AEH，

∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，

∴∠G=∠FAB，

∴FA=FG，

∵FB⊥AG，

∴AB=BG．

由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2①

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2②

由①、②得：FG2-4FG-12=0，解之得：FG1=6，FG2=-2（舍去）

∴AB=BG=4，

∴⊙O半径为2．

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题型：填空题

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填空题

如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．

（1）求证：CD是⊙O切线；

（2）若⊙O的直径为4，AD=3，求∠BAC的度数．

正确答案

解析

证明：（1）连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC．

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠CAD．

∴∠OCA=∠CAD．

∴OC∥AD．

又∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD．

∴OC是⊙O的切线．

（2）连接BC，

∵AB是直径，

∴∠BCA=90°．

∴∠BCA=∠ADC=90°．

∵∠BAC∠=∠CAD，

∴△BAC∽△CAD．

∴即=．

∴AC=2．

在Rt△ABC中，cos∠BAC=．

∴∠BAC=30°．

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题型：单选题

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单选题

如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的大小为（　　）

A70°

B80°

C90°

D99°

正确答案

D

解析

解：∵EB、EC是⊙O的切线，

∴EB=EC，

又∵∠E=46°，

∴∠ECB=∠EBC=67°，

∴∠BCD=180°-（∠BCE+∠DCF）=180°-99°=81°；

∵四边形ADCB内接于⊙O，

∴∠A+∠BCD=180°，

∴∠A=180°-81°=99°．

故选：D．

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