- 圆与方程
- 共4684题
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
正确答案
解：（1）∵∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
可得∠BAC=90°-∠ABC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，得OA⊥AE，
又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∵∠ABC=60°，OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，得∠BOC=60°，⊙O的半径R=OB=AB=4，
由此得到∠AOC=180°-∠BOC=120°，
因此，劣弧AC的长等于
解析
解：（1）∵∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
可得∠BAC=90°-∠ABC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，得OA⊥AE，
又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∵∠ABC=60°，OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，得∠BOC=60°，⊙O的半径R=OB=AB=4，
由此得到∠AOC=180°-∠BOC=120°，
因此，劣弧AC的长等于
正确答案
解析
解：连接AT
在△APT中，P=60°，PT=2，PA=1，AT=
∴∠TAP=90°，
∴∠BAT=90°，
∴BT是圆的直径，
∵PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，
∴PT2=PA•PB，
∴△PAT∽△PTB
∴
∴BT=2
∴圆的半径是
故答案为：
求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB+EB=AC．
正确答案
解析
∵AB为⊙D的切线，则∠B=90°，且AD平分∠BAC，
∴BD=DF，（3分）
∴AC为⊙D的切线．（4分）
（2）在△BDE和△FDC中；
∵BD=DF，DE=DC，
∴△BDE≌△DCF，（6分）
∴EB=FC．（8分）
∵AB=AF，
∴AB+EB=AF+FC，
即AB+EB=AC．（10分）
正确答案
3
解析
∵AD⊥DE，
∴AD∥OC，
∴
由切割线定理可得CE2=BE•AE，
∴12=BE•（BE+4），
∴BE=2，
∴OE=4，
∴
∴AD=3
故答案为：3．
A
B
C4
D3
正确答案
解析
∵OC=3，∠CPA=30°，∴OP=
∴PB=OP-OB=6-3=3．
故选D．
正确答案
解析
理由如下：
连接OE，则OE⊥PD；
∵AC=AB，OE=OB，
∴∠OEB=∠B=∠C，
∴OE∥AC，
∴PD与AC互相垂直．
正确答案
解析
解：
理由如下：过P作PD⊥OB，交于D，
由于点P是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，
则PD=PC，
故由圆的切线的定义可得，
OB与以P为圆心、PC为半径的圆相切．
如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PT切半圆于点T，TH⊥BC于H，若PT=1，PB+PC=2a，则PH=（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：如图，连接OT．
∵PT2=PC•PB，PT=1且PB+PC=2a
∴BC=PB-PC=
∴OT=OC=
又∵∠TPH=∠OPT，∠PTO=∠PHT=90°
∴△TPH∽△OPT，可得
故选：B
如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=______度．
正确答案
115
解析
解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=
∴∠BOC=180°-65°=115°．
故答案为：115°．
求证：CD为圆O的切线．
正确答案
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠COB=∠COD，
在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，
∴△COB≌△COD（SAS），
∴∠ODC=∠OBC，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
解析
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠COB=∠COD，
在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，
∴△COB≌△COD（SAS），
∴∠ODC=∠OBC，
∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（Ⅰ）直线AD是圆O的切线；
（Ⅱ）∠D+∠CEF=180°．
正确答案
∵BA是圆O的直径，∴∠ACB=90°，
∵BA2=BC•BD，∴
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，∴∠BAD=∠ACB=90°，
∵OA是圆O的半径，∴直线AD是圆O的切线；…（5分）
（Ⅱ）∵△ABC∽△DBA，∴∠BAC=∠D，
又∠BAC=∠BEC，
∴∠D=∠BEC，
∴四点C、C、E、F四点共圆，∴∠D+∠CEF=180°…（10分）
解析
∵BA是圆O的直径，∴∠ACB=90°，
∵BA2=BC•BD，∴
又∵∠ABC=∠DBA，
∴△ABC∽△DBA，∴∠BAD=∠ACB=90°，
∵OA是圆O的半径，∴直线AD是圆O的切线；…（5分）
（Ⅱ）∵△ABC∽△DBA，∴∠BAC=∠D，
又∠BAC=∠BEC，
∴∠D=∠BEC，
∴四点C、C、E、F四点共圆，∴∠D+∠CEF=180°…（10分）
正确答案
解析
解：连接OA、OP；
∵同心圆大⊙O的弦AB切小⊙O于P，
∴∠OPA=90°，AP=
∴圆环的面积=πOA2-πOP2=（OA2-OP2）π=9π．
故选A．
正确答案
3
解析
解：连接OD
∵CD切⊙O于点D，
∴ED2=EA•EB，
∵ED=2，AB=3，设EA=x，
∴4=x（x+3）
∴x=1，
在△EOD和△ECB中，
∴
∴BC=3
故答案为：3
正确答案
解析
解：连OD，如图，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
又∵DE⊥EF，
∴OD∥EF，
∴∠DOA+OAE=180°；
而∠CAE=130°，
∴∠DOA=50°，
∴∠ADO=
∴∠DAE=65°．
故选A．
正确答案
6
解析
解：∵∠BAC=∠APB，
∠C=∠BAP，
∴△PAB∽△ACB，
∴
∴AB2=PB•BC=9×4=36，
∴AB=6，
故答案为：6．
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