- 圆与方程
- 共4684题
（Ⅰ）试证明：AF=CF；
（Ⅱ）若ED=4，
正确答案
证明：（Ⅰ）设线段FD延长线上一点G，则∠GDB=∠ADF，且
∴
又∵⊙O中OD=OB，
∴∠BDO=∠OBD，
∴
∴
∴AF=FD，
又在直角三角形ABC中，直角边BC为⊙O的直径，
∴AC为⊙O的切线，又FD为⊙O的切线，
∴FD=CF，
∴AF=CF．（5分）
（Ⅱ）解：∵直角三角形FED中，ED=4，
∴
∴FE=5，（8分）
又FD=3=FC，
∴CE=2．（10分）
解析
证明：（Ⅰ）设线段FD延长线上一点G，则∠GDB=∠ADF，且
∴
又∵⊙O中OD=OB，
∴∠BDO=∠OBD，
∴
∴
∴AF=FD，
又在直角三角形ABC中，直角边BC为⊙O的直径，
∴AC为⊙O的切线，又FD为⊙O的切线，
∴FD=CF，
∴AF=CF．（5分）
（Ⅱ）解：∵直角三角形FED中，ED=4，
∴
∴FE=5，（8分）
又FD=3=FC，
∴CE=2．（10分）
正确答案
70°
解析
解：∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，
∴∠BCD+∠A=180°．
∵∠BCD=110°，∴∠A=70°．
∵BE是⊙O的切线，
∴∠DBE=∠A=70°．
故答案为：70°．
（1）求∠P的正弦值；
（2）若⊙O的半径r=2cm，求BC的长度．
正确答案
解析
∵PC切⊙O于点C，
∴PC⊥OC
又∵AB=2PA
∴OC=AO=AP=
∴∠P=30°
∴sin∠P=
（2）连接AC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠COA=90°-30°=60°，
又∵OC=OA，
∴△CAO是正三角形．
∴CA=r=2，
∴CB=
（1）求证：△DEF～△DHG；
（2）若⊙O1和⊙O2的半径之比为9：16，求
正确答案
解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，
∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，
∴DE×DG=DF×DH，
∴
又∵∠EDF=∠HDG，
∴△DEF∽△DHG．（4分）
（2）连接O1A，O2A，
∵AD是两圆的公切线，
∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，
∴O1O2共线，
∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，
∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，（8分）
设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，
∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，
∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）
∴DE=6x，DF=4x，∴
解析
解：（1）证明：∵AD是两圆的公切线，
∴AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，
∴DE×DG=DF×DH，
∴
又∵∠EDF=∠HDG，
∴△DEF∽△DHG．（4分）
（2）连接O1A，O2A，
∵AD是两圆的公切线，
∴O1A⊥AD，O2A⊥AD，
∴O1O2共线，
∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线，DG平分∠ADB，DH平分∠ADC，
∴DG⊥DH，∴AD2=O1A×O2A，（8分）
设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x，则AD=12x，
∵AD2=DE×DG，AD2=DF×DH，
∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x）
∴DE=6x，DF=4x，∴
设四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在边AB上并且与四边形的其余三边相切．证明：AD+BC=AB．
正确答案
设θ=∠OCF=∠OHE=∠OCG，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠A=180°-2θ，∠AOH=180°-（θ+180°-2θ）=θ=∠AHO，
因此，OA=AH=AE+FC=AE+GC…①
用同样的方法，即将△OFD绕O点顺时针旋转到△OGK，K在GC上，
得到OB=BK=BG+FD=BG+ED…②，
①+②得AB=AD+BC．
解析
设θ=∠OCF=∠OHE=∠OCG，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠A=180°-2θ，∠AOH=180°-（θ+180°-2θ）=θ=∠AHO，
因此，OA=AH=AE+FC=AE+GC…①
用同样的方法，即将△OFD绕O点顺时针旋转到△OGK，K在GC上，
得到OB=BK=BG+FD=BG+ED…②，
①+②得AB=AD+BC．
正确答案
解析
解：C为圆周上一点，AB是直径，
所以AC⊥BC，而BC=3，AB=6，得∠BAC=30°，
进而得∠B=60°，
所以∠DCA=60°，
又∠ADC=90°，得∠DAC=30°，
∴
故答案为
如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上，BC=2
正确答案
解：∵弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60°，
∴∠BOC=120°，
∵BC=2
∴圆的半径为：
∴圆的面积为：π•22=4π．
故答案为：4π．
解析
解：∵弦切角等于同弧上的圆周角，∠BCD=60°，
∴∠BOC=120°，
∵BC=2
∴圆的半径为：
∴圆的面积为：π•22=4π．
故答案为：4π．
正确答案
解析
∴
∴∠P=30°，
∴
故填：
正确答案
解析
解：∵⊙O的直径AB=10，C为圆周上一点，AC=6，
则∠ACB=90°，BC=8
又∵直线l为圆O的切线，
∴∠ACD=∠ABC，
又∵AD⊥CD，即∠ADC=∠ACB=90°
∴△ABC∽△ACD
∴CD=
故答案为：
（1）求证：AB是⊙O切线；
（2）若∠B=30°，且AB=4 
正确答案
证明：（1）连接OC，
∵OA=OB，C是AB的中点，
∴OC⊥AB．
∵点C在⊙O上，
∴AB是⊙O切线．（4分）
解：（2）∵OA=OB，∠B=30°，
∴∠EOF=120°．
∵C为AB的中点，AB=4 
∴BC=
在Rt△OCB中，令OC=r，则OB=2r，
列出方程为（2r）2-r2=（ 
解得：r=2．（3分）
解析
证明：（1）连接OC，
∵OA=OB，C是AB的中点，
∴OC⊥AB．
∵点C在⊙O上，
∴AB是⊙O切线．（4分）
解：（2）∵OA=OB，∠B=30°，
∴∠EOF=120°．
∵C为AB的中点，AB=4
∴BC=
在Rt△OCB中，令OC=r，则OB=2r，
列出方程为（2r）2-r2=（
解得：r=2．（3分）
A4
B
C2
D
正确答案
解析
在Rt△POB中，
OB=OA=PO-AP=3，PO=5，
∴PB=
故选A．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）若EC=3，BD=
正确答案
解析
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴EB=ED，
∴EB=EC，即点E是边BC的中点；
（2）∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，
∴BC2=BD•BA，
∴（2EC）2=BD•BA，即BA•2 
∴BA=3 
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC=
正确答案
解析
理由如下：连接OA，OB，OP，
在△PAO和△PBO中，
PA=PB，OA=OB，PO=PO，
则△PAO≌△PBO，
则∠PAO=∠PBO，
由于PA⊥OA，则PB⊥OB，
故PB与⊙O相切．
正确答案
解析
解：∵AC是圆O的切线，∴OE⊥AC．
又∵∠ACB=90°，∴OE∥BC．
∴
由切割线定理可得：AE2=AD•AB，
∴
∴
故答案为：
正确答案
解：连接OC，则直角△PCO中，
∠CPA=30°，OP=2OC=6，
∴PB=OP-OB=OP-OC=6-3=3，
∵过P点作⊙O的切线，切点为C
∴PC2=PB×PA=27
∴PC=3
故答案为：3
解析
解：连接OC，则直角△PCO中，
∠CPA=30°，OP=2OC=6，
∴PB=OP-OB=OP-OC=6-3=3，
∵过P点作⊙O的切线，切点为C
∴PC2=PB×PA=27
∴PC=3
故答案为：3
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