热门试卷

（I）解法一：设A，B两点坐标分别为(，y1)，(，y2)，

由题设知==

解得y12=y22=12，

所以A(6，2)，B(6，-2)或A(6，-2)，B(6，2)．

设圆心C的坐标为（r，0），则r=×6=4，

所以圆C的方程为（x-4）2+y2=16．

解法二：设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知x12+y12=x22+y22

又因为y12=2x1，y22=2x2，可得x12+2x1=x22+2x2．即（x1-x2）（x1+x2+2）=0

由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上

设C点的坐标为（r，0），则A点坐标为(r，r)，于是有(

3

2

r)2=2×r，

解得r=4，

所以圆C的方程为（x-4）2+y2=16．

（II）设∠ECF=2α，则•=||•||•cos2α=16cos2α=32cos2α-16．

在Rt△PCE中，cosα==，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|-1=7-1=6，

所以≤cosα≤，由此可得-8≤•≤-．

则•的最大值为-，最小值为-8．

（1）∵y=kx+b（b＞0）与圆x2+y2=1相切，

∴=1，即b2=k2+1（k≠0），

∴b=…（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，消去y得：（2k2+1）x2+4kbx+2b2-2=0

又△=8k2＞0（∵k≠0），所以x1+x2=-，x1x2=．…（6分）

则•=x1x2+y1y2=．

由•=，所以k2=1．

∴b2=2．∵b＞0，∴b=，

∴l：y=x+，y=-x+．…（9分）

（3）由（2）知：=m．

∵≤m≤，∴≤≤，∴≤k2≤1，

由弦长公式得|AB|=•，所以S=|AB|=，

设2k2+1=t，∴2≤t≤3，S=

∴≤S≤．…（14分）

（1）法一：依题意，点P的坐标为（0，b），…（1分）

∵CP⊥l，∴×1=-1，得b=a，…（1分）

又P（0，b）在圆C上，∴a2+b2=8，…（1分）

又∵a＞0从而解得a=b=2，故所求圆的方程为（x-2）2+y2=8．…（2分）

法二：依题意，所求圆与直线x-y+b=0相切于点P（0，b），

则，解得，故所求圆的方程为（x-2）2+y2=8．

（2）当b=2时，假设存在a，使直线l：y=x+2与圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

联立方程组  消去y得  2x2+（4-2a）x+a2-4=0

∴x1+x2=a-2，x1•x2=，…（2分）

又∵y1•y2=（x1+2）（x2+2）=x1•x2+2（x1+x2）+4

∴•=x1•x2+y1•y2=2x1•x2+2(x1+x2)+4=（a2-4）+2（a-2）+4=-1

即：a2+2a-3=0，解得：a=1或a=-3…（3分）

又∵△=（4-2a）2-8（a2-4）＞0，得a2+4a-12＜0⇒-6＜a＜2，

而a＞0，

∴0＜a＜2

故存在a=1，使得直线l与⊙C相交于A、B两点，且满足•=-1…（3分）

（1）∵圆C1与直线x=1-2相切于点A(1-2，1)，

∴圆心C1在直线y=1上，…（1分）

又圆心C1在直线x-y=0上，

∴圆心C1为直线y=1和直线x-y=0的交点，即点（1，1）．…（2分）

∵圆C1与直线x=1-2相切，

∴圆C1的半径等于点（1，1）到直线x=1-2的距离，

即圆C1的半径为|1-(1-2)|=2

∴圆C1的方程为（x-1）2+（y-1）2=8…（5分）

（2）∵圆心C1到直线l2的距离为d==3＞2…（7分）

∴直线l2与圆C1相离．…（8分）

（3）由已知，可设圆C2的方程为（x-a）2+（y-b）2=8，

∵圆C2经过点（1，1），

∴（1-a）2+（1-b）2=8，即（a-1）2+（b-1）2=8，

∴圆C2的圆心C2（a，b）在圆C1上．…（10分）

设直线l2：x+y-8=0与圆C2的交点分别为M，N，MN的中点为P，

由圆的性质可得：|MN|2=4(8-|C2P|2)，

所以求直线l2被圆C2截得弦长MN的最大值即求C2P的最小值．…（12分）

又因为C1到直线l2的距离为d=3，

所以C2P的最小值为d-|C1C2|=3-2=，

所以(|MN|2)max=4[8-(

2

)2]=24，

即MNmax=2，

故直线l2被圆C2截得弦长的最大值为2．…（14分）

（1）因为圆心C在直线x-y+1=0上，所以设圆C的圆心C（a，a+1），半径为r（r＞0），

所以圆的方程为（x-a）2+（y-a-1）2=r2．

因为圆C经过点A（1，3），B（5，1），

所以，，即，

解得：．

所以，圆C的方程为（x-5）2+（y-6）2=25；

（2）由题意设直线l的方程为y=kx+3，或x=0

当l的方程为x=0时，验证知l与圆C相切．

当l的方程为y=kx+3，即kx-y+3=0时，

圆心C到直线l的距离为d==5，解得：k=-．

所以，l的方程为y=-x+3，即8x+15y-45=0．

所以，直线l的方程为x=0，或8x+15y-45=0．

（1）由题意设圆心坐标为（a，4），则

∵圆C过点A（4，8）和B（8，4），

∴（a-4）2+（8-4）2=（a-8）2+（4-4）2，

∴a=4，∴（a-8）2+（4-4）2=16

∴圆C的标准方程为：（x-4）2+（y-4）2=16

（2）设所求切线的向量为k，则由点斜式可得

y+2=k（x-8），即kx-y-8k-2=0，

故圆心（4，4）到直线的距离等于半径4，

即=4，解得k=-，

即切线方程为：5x+12y-16=0，

又直线无斜率时，直线方程为x=8符合题意

故所求切线的方程为：5x+12y-16=0，或x=8

（1）圆C：x2+y2-2x+4y+4=0化成标准方程得

 （x-1）2+（y+2）2=1，可得圆C表示以（1，-2）为圆心，以1为半径的圆．

∴圆心C坐标为（1，-2）和半径r=1

（2）当过点（2，3）的直线x轴垂直时，经验证可得直线与圆C相切

此时切线方程为x=2，符合题意；

当过点（2，3）的直线与x轴不垂直时，设方程为y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0

∵直线与圆C相切，

∴直线到圆心的距离d==1，解之得k=

此时切线的方程为12x-5y-9=0

综上所述，得所求切线方程为x=2或12x-5y-9=0．

设圆心M（0，b），半径R．圆M交L1于AB两点．AB=8，

做MN⊥L1，交L1于N点．则N平分AB． AN=4，

连AM，则AM=R． 

|MN|==，

|AN|2+|MN|2=R2=16+，

点M到直线L2距离d=R（圆M与直线L2相切），

d2=R2=，

∴16+=，

16×25=（37-3b+4b+3）（37-4b-4b-3），

8b=34-16×=24，

b=3，

R2==25，

∴圆M的方程为：x2+（y-3）2=25．

∵点A和A1均在圆C上且关于直线l1对称，

由题意可得圆C的圆心C（m，n）在直线x+y-4=0上

∴，解得或（与n＞0矛盾，舍去），

则圆C的方程为：（x-2）2+（y-2）2=4；

①当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y=kx-2，由（1）得到圆心坐标为（2，2），半径r=2，

根据题意得：圆心到直线的距离d==r=2，解得k=1，

所以直线l2的方程为y=x-2；

②当直线l2的斜率不存在时，易得另一条切线为x=0，

综上，直线的方程为y=x-2或x=0