热门试卷

①⊙C可化为：（x-1）2+（y-1）2=1

圆心C（1，1），r=1（3分）

由题意，直线l的方程可设为+=1

即 bx+ay-ab=0

∵直线与圆相切∴=1

整理得（a-2）（b-2）=2（a＞2，b＞2）（8分）

②设线段AB的中点M（x，y）

则

将a=2x，b=2y代入得：(x-1)(y-1)= (x＞1， y＞1)（12分）

（1）∵直线l1过点A（3，0），且与圆C：x2+y2=1相切，

设直线l1的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，

则圆心O（0，0）到直线l1的距离为d==1，解得k=±，

∴直线l1的方程为y=±（x-3），即y=±（x-3）．

（2）对于圆方程x2+y2=1，令y=0，得x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）．

又直线l2过点a且与x轴垂直，∴直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为y=（x+1）．

解方程组，得P′(3，)同理可得，Q′(3，)

∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为（x-3）（x-3）+（y-）（y-）=0，

又s2+t2=1，∴整理得(x2+y2-6x+1)+y=0，

若圆C′经过定点，只需令y=0，从而有x2-6x+1=0，解得x=3±2，

∴圆C′总经过定点坐标为（3±2，0）．

（3）以EF为直径的圆C过定点，它的逆命题：设圆O与x轴交于P、Q两点，M是圆O上异于P、Q的任意一点，

过点M（m，0）且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，

直线QM交直线l2于点Q′，以P′Q′为直径的圆C总过定点，则m＞1或者m＜-1．

（1）圆x2+y2=4的圆心为O（0，0），半径r=2．

∵过点A的圆的切线只有一条，

∴点A（1，a）是圆x2+y2=4上的点，可得12+a2=4，解之得a=±．

①当a=时，点A坐标为（1，），可得OA的斜率k==．

∴经过点A的切线斜率k'==-，

因此可得经过点A的切线方程为y-=-（x-1），化简得x+y-4=0；

②当a=-时，点A坐标为（1，-），

利用与①类似的方法进行计算，可得经过点A的切线方程为x-y-4=0．

∴若过点A的圆的切线只有一条，则a的值为±，相应的切线方程方程为x+y-4=0和x-y-4=0．

（2）设过点A且在两坐标轴上截距相等的直线，

它在两轴上的截距都为m，可得它的方程为x+y-m=0，

∵直线与圆x2+y2=4相切，

∴圆心到直线的距离等于半径，即=2，解之得m=±2．

因此，过点A且在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程为x+y±2=0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则过P、Q的切线方程分别是

x1x+y1y=1，x2x+y2y=1．

又M（m，n）在这两条切线上，有mx1+ny1=1，mx2+ny2=1，

∵P、Q两点的坐标满足方程mx+ny=1，又两点确定唯一一条直线，

∴PQ所在直线的方程是mx+ny=1．

又∵E为直线OM与PQ之交点，解方程组⇒x=，y=．

将（，）代入中点E的轨迹方程得x2+y2+x-=0．

这就是要求的过P、Q两点的切线交点M的轨迹方程．

由C：x2+y2-4x-5=0得圆的标准方程为（x-2）2+y2=9-----------（2分）

（1）显然x=5为圆的切线．------------------------（4分）

另一方面，设过（5，1）的圆的切线方程为y-1=k（x-5），即kx-y+1-5k=0；

所以d==3，解得k=-

于是切线方程为4x+3y-23=0和x=5．------------------------（7分）

（2）设所求直线与圆交于A，B两点，其坐标分别为（x1，y1）B（x2，y2）

则有

两式作差得（x1+x2-4）（x2-x1）+（y2+y1）（y2-y1）=0--------------（10分）

因为圆C的弦AB的中点P（3，1），所以（x2+x1）=6，（y2+y1）=2     

所以=-1，故所求直线方程为 x+y-4=0-----------------（14分）

（1）经判断，得到点P在圆上，

当斜率k不存在时，直线与圆相交，不合题意，所以设切线方程的斜率为k，

则切线方程为：y-1=k（x-），

所以圆心（0，0）到直线的距离d==r=2，

化简得：(k+

3

)2=0，解得k=-，

所以切线方程为：y=-x+4；

（2）当直线斜率不存在时，直线与圆外离，不合题意，设过点Q的切线方程的斜率为k，

则切线方程为y=k（x-3），

所以圆心到直线的距离d==r=2，

化简得：k=±，

所以切线方程为：y=x-或y=-x+；

（3）设切点坐标为（a，b），则切线方程为：y-a=-（x-b），即x+y-a-b=0，

所以圆心到直线的距离d==2，即a+b=2①或a+b=-2②，

又把切点坐标代入圆的方程得：a2+b2=4③，

由①得：a=2-b，代入③得：a=b=；由②得：a=-2-b，代入③得：a=b=-，

所以切点坐标分别为（，）或（-，-），

则切线方程为：y-=-（x-）或y+=-（x+），

即x+y-2=0或x+y+2=0．

由圆x2+y2=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，

当过P的切线方程斜率不存在时，显然x=-2为圆的切线；

当过P的切线方程斜率存在时，

设斜率为k，p（-2，-3），

∴切线方程为y+3=k（x+2），即kx-y+2k-3=0，

∵圆心到切线的距离d==r=2，

解得：k=，

此时切线方程为5x-12y-26=0，

综上，切线方程为x=-2或5x-12y-26=0．

（1）设切线l的方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0

∵直线l与圆x2+y2=1相切

∴原点到直线l的距离d==1，解之得k=±

∴切线l的方程为y=±(x-2)

（2）由y=±(x-2)与C：+=1消去y，

得7x2-16x-32=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=-

∴|x1-x2|==

因此，弦AB的长|AB|=•|x1-x2|=×=．

（1）设切线斜率为k，则切线方程为kx-y-k-2=0，所以=，解得k=，

所以切线方程为x-2y-5=0；

（2）：设PQ中点M（x，y），则P（2x，2y-4），代入圆C：x2+y2=5，得4x2+（2y-4）2=5．

线段PQ的中点M的轨迹方程：x2+（y-2）2=．