- 圆与方程
- 共4684题
经过原点的直线l与圆C：x2+（y-4）2=4有公共点，则直线l的斜率的取值范围是______．
正确答案
设直线L：y=kx即kx-y=0
由直线与圆C：x2+（y-4）2=4有公共点，即直线与圆相切或相交
∴
∴k2≥3
∴k≥
故答案为：（-∞，-
以下命题：
①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；
②过圆上的点（x0，y0）与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2；
③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；
④抛物线上任意一点M到焦点的距离都等于点M到其准线的距离．
其中正确命题的标号是______．
正确答案
①两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等，且截距不等，故①不正确，
②过点（x0，y0）与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2．②正确，
③不正确，若平面内到两定点距离之和等于常数，如这个常数正好为两个点的距离，则动点的轨迹是两点的连线段，而不是椭圆；
④根据抛物线的定义知：抛物线上任意一点M到焦点的距离都等于点M到其准线的距离．故④正确．
故答案为：②④．
已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足PQ=PA．
（1）证明：P（a，b）在一条定直线上，并求出直线方程；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径取最小值时的⊙P方程．
正确答案
（1）由点Q为切点，可得PQ⊥OQ，
由勾股定理得：|PQ|2=|OP|2-|OQ|2，
又|PQ|=|PA|，
∴|PQ|2=|PA|2，即（a2+b2）-12=（a-2）2+（b-1）2，
化简得：2a+b-3=0，
则所求直线方程为2a+b-3=0；
（2）由2a+b-3=0，得b=-2a+3，
|PQ|=
故当a=
（3）设圆P的半径为R，Q为圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，
∴|R-1|≤|OP|≤R+1，即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1，
而|OP|=
故当a=
则半径取最小值时圆P的方程为（x-
已知⊙A：x2+y2=1，⊙B：（x-3）2+（y-4）2=4，P是平面内一动点，过P作⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，若PE=PD，则P到坐标原点距离的最小值为______．
正确答案
设P（x，y），依题意，过P作⊙A、⊙B的切线，切点分别为D、E，PE=PD，
所以x2+y2-1=（x-3）2+（y-4）2-4，整理得：3x+4y-11=0，
P到坐标原点距离的最小值就是原点到3x+4y-11=0它的距离，
∴P到坐标原点距离的最小值为
故答案为：
将直线x+y=1绕点（1，0）顺时针旋转90°，再向上平移1个单位后，与圆x2+（y-1）2=r2相切，则半径r的值是______．
正确答案
∵直线x+y=1的斜率为-1，
∴旋转90°后的直线斜率为1，又过（1，0），
∴旋转后直线的方程为：y=x-1，
向上平移一个单位得直线方程为：y=x-1+1，即y=x，
∵此时y=x与圆相切，
∴圆心（0，1）到直线y=x的距离d=
则r的值为
故答案为：
在直角坐标系xoy中，以O为圆心的圆与直线x-
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P（x0，y0）满足|PO|2=|PA|•|PB|，求x02+y02的取值范围．
正确答案
（ I）由题意圆O的半径r 等于原点O到直线x-
即r=
∴圆的方程为x2+y2=4．
（ II）由x2=4，解得x=±2，不妨设A（-2，0），B（2，0）．
由|PO|2=|PA|•|PB|得
整理得x02-y02=2．
令t=x02+y02=2y02+2=2(y02+1)；
∵点P（x0，y0）在圆O内，∴
∴2≤2(y02+1)＜4，
∴t∈[2，4），∴(x02+y02)∈[2，4)．
已知圆C的方程为：x2+y2+2x-4y-20=0，
（1）若直线l1过点A（2，-2）且与圆C相切，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过点B（-4，0）且与圆C相交所得的弦长为8，求直线l2的方程．
正确答案
圆C的方程化为：（x+1）2+（y-2）2=25，圆心C（-1，2），半径r=5，
（1）易知A（2，-2）在圆C上，则l1⊥AC，可求得kAC=-
则直线l1的方程为：y+2=
（2）设圆心到直线l2的距离为d，
∵弦长为8，又圆的半径r=5，∴d=3
①若l2斜率不存在，∵过点B（-4，0），即l2方程为x=-4，
此时 圆心C（-1，2）到l2的距离为3，所以方程x=-4符合题意；
②若l2斜率存在，∵过点B（-4，0），
设l2方程为y=k（x+4），即kx-y+4k=0，
∵圆心C（-1，2）到l2的距离为3，
∴
此时l2方程为：5x+12y+20=0
综上得直线l2方程为：x+4=0或5x+12y+20=0；
已知圆C的圆心坐标为（2，-1），且与x轴相切．
（1）求圆C的方程；
（2）求过点P（3，2）且与圆C相切的直线方程；
（3）若直线过点P（3，2）且与圆C相切于点Q，求线段PQ的长．
正确答案
（1）因为圆C的圆心坐标为（2，-1），且与x轴相切．
所以圆的半径为：1，所以所求圆的方程为：（x-2）2+（y+1）2=1；
（2）切线的斜率存在时，设过点P（3，2）且与圆C相切的直线方程为y-2=k（x-3），
即kx-y-3k+2=0，
所以
当直线的斜率不存在时，x=3也是圆的切线，
所以所求直线方程为：4x-3y-6=0或x=3．
（3）由（2）可知x=3是圆的切线，因为直线过点P（3，2）且与圆C相切于点Q，
所以切线长为：2-（-1）=3．
（1）求以A（-1，2），B（5，-6）为直径两端点的圆的方程．
（2）求过点A（1，2）和B（1，10）且与直线x-2y-1=0相切的圆的方程．
正确答案
（1）设圆心为C（a，b），由A（-1，2）、B（5，-6），（2分）
结合中点坐标公式，得a=
∵|AC|=
∴圆的半径r=|AC|=5，（5分）
因此，以线段AB为直径的圆的方程是（x-2）2+（y+2）2=25．（7分）
（2）由题意，可得圆心在线段AB的垂直平分线y=6上，
因此设圆心为（a，6），半径为r，
可得圆的标准方程为（x-a）2+（y-6）2=r2，
代入B点坐标，得（1-a）2+（10-6）2=r2，
∵直线x-2y-1=0与圆相切，∴r=
即(a-1)2+16=
解之得，a=3，r=2
∴圆的方程是∴（x-3）2+（y-6）2=20或 （x+7）2+（y-6）2=80（14分）
已知圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x-2）2+（y-4）2=1，过动点P（a，b）分别作圆C1、圆C2的切线PM、PN（M、N分别为切点），若PM=PN，则
正确答案
因为圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x-2）2+（y-4）2=1，过动点P（a，b）分别作圆C1、圆C2的切线PM、PN（M、N分别为切点），若PM=PN，所以P的轨迹为：C1C2的中垂线y=-
即：y=|C1P|+|BP|
∵|C1P|=|C2P|
∴y=|C2P|+|BP|
根据两边之和大于第三边
∴y=|C2P|+|BP|≥|C2B|=
故答案为：
已知点A（4，3）和圆C：（x-2）2+y2=4
（1）求圆C关于点A对称的圆C1的标准方程；
（2）求过点A并且与圆C相切的直线方程．
正确答案
（1）由题意可设，圆C关于点A对称的圆C1的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=4
则可得，（2，0）与（a，b）关于A（4，3）对称
则
（2）设所求的切线方程为y-3=k（x-4）即kx-y+3-4k=0
由直线与圆相切的 性质，可知圆心（2，0）到直线kx-y+3-4k=0的距离d=
解可得，k=
而当直线为x=4时也与圆相切，
综上可得，所求的切线方程为5x-12y+16=0或x=4
已知圆C经过点A（0，5）、B（1，-2）、D（-3，-4）
（1）求圆C的方程；
（2）求斜率为2且与圆C相切的直线的方程．
正确答案
（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则有
所以圆C的方程为（x+3）2+（y-1）2=25
（2）由题意设所求直线的方程为y=2x+b，则
所以直线方程为y=2x+7+5
以点（1，0）为圆心，且与直线2x+y=1相切的圆方程是______．
正确答案
∵圆的圆心是（1，0）
∴设圆方程为（x-1）2+y2=r2
求得点（1，0）到直线的距离d=
∵直线2x+y=1与圆相切，∴圆的半径r=
可得圆方程为（x-1）2+y2=
故答案为：（x-1）2+y2=
若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是______．
正确答案
∵圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，
∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标（a，1），
则1=
∴该圆的标准方程是 （x-2）2+（y-1）2=1；
故答案为（x-2）2+（y-1）2=1．
已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0
（1）求过点A（1，5）的圆C的切线方程；
（2）求在两坐标轴上截距之和为0，且截圆C所得弦长为2的直线方程．
正确答案
（1）已知圆 C：（x-2）2+（y-3）2=1
若直线斜率不存在，x=1适合题意（2分）
若直线斜率存在，设切线l的方程为 y-5=k（x-1），kx-y+5-k=0
由题意可知圆心（2，3）到l的距离为d=
解得k=
故所求直线方程为x=1或y=-
（2）由题意可设所求直线为y=kx或
当直线为y=kx过圆心（2，3），则所求直线为y=
当直线为
故所求直线方程为y=
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