热门试卷

圆C：（x+1）2+y2=4的圆心（-1，0）半径为2，

所以过点（3，0）的切线方程为y=k（x-3）．

因为直线与圆相切，2=，解得k=±，

所以与圆C：（x+1）2+y2=4相切，且过点（3，0）的直线的一般方程：x±y-3=0

（1）证明：曲线C的方程可变形为（x2+y2+2y-1）+（-2x-2y+2）a=0，

由，…（2分）

解得，点（1，0）满足C的方程，

故曲线C过定点（1，0）．…（4分）

（2）原方程配方得（x-a）2+（y-a+1）2=2（a-1）2；由于a≠1，所以2（a-1）2＞0，

所以C的方程表示圆心是（a，a-1），半径是|a-1|的圆．…（6分）

由题意得圆心到直线距离d=，…（8分）

∴|a-1|=，解得a=．…（10分）

（3）法一：由（2）知曲线C表示圆设圆心坐标为（x，y），则有，

消去a得y=x-1，故圆心必在直线y=x-1上．

又曲线C过定点（1，0），所以存在直线l与曲线C总相切，…（12分）

直线l过点（1，0）且与直线y=x-1垂直；

∴l方程为y=-（x-1）即y=-x+1．…（16分）

法二：假设存在直线l满足条件，显然l不垂直于x轴，设l：y=kx+b，

圆心到直线距离d=，

∴=|a-1|对所有的a∈R且a≠1都成立，…（12分）

即（k+1）2a2-2（2k2+k+kb-b+1）a+2（k+1）2-（b+1）2=0恒成立

∴∴

∴存在直线l：y=-（x-1）即y=-x+1与曲线C总相切．…（16分）

⊙C：（x+1）2+（y-2）2=4，圆心C（-1，2），半径r=2，

（1）若切线过原点设为y=kx，则=2，

解得：k=0或，

若切线不过原点，设为x+y=a，则=2，

解得：a=1±2，

则切线方程为：y=0，y=x，x+y=1+2和x+y=1-2；

（2）∵|PM|=|PO|，即=，

∴2x0-4y0+1=0，

对于|PM|==，

∵P在⊙C外，

∴（x0 +1）2+（y0-2）2＞4，

将x0=2y0-代入得5y02-2y0+＞0，

∴当y0=时，5y02-2y0+最小，此时|PM|最小，x0=2y0-=-，

∴|PM|min=，此时P（-，）．

曲线C的方程可化为（x+2）2+y2=1，（3分）

可见曲线C是以点C（-2，0）为圆心半径为1的圆（4分）

设点P（x，y）为曲线C上一动点，

则=kOP，即O、P两点连线的斜率（6分）

当P的坐标为(- ，)时，有最小值为-，

当P的坐标为(- ，-)时，有最大值为，（9分）

所以的取值范围是[-，]（10分）

（Ⅰ）点M（25，18）射到x轴上，关于x轴的对称点M′（25，-18）

所以反射光线过M′（25，-18），圆心（0，7）

所以直线为=

即y=-x+7；

（Ⅱ）A的取值范围是反射后射到圆C：x2+（y-7）2=25上，临界状态时的取值范围．

因为x轴的对称点M′（25，-18）

所以设直线y=k（x-25）-18，即kx-y-25k-18=0

利用圆心到直线的距离等于半径可得：=5

∴12k2+25k+12=0

∴k1=-，k2=-

所以对应的方程分别为：3x+4y-3=0，4x+3y-46=0

此时令A（x，0）

所以x分别为1，11.5

所以A的活动范围[1，11.5]．

（1）∵圆O的方程为x2+y2=16，

∴圆心为O（0，0），半径r=4，

设过点M（-4，8）的切方程为y-8=k（x+4），即kx-y+4k+8=0，（1分）

则=4，解得k=-，（3分）

切线方程为3x+4y-20=0（5分）

当斜率不存在时，x=-4也符合题意．

故求过点M（-5，11）的圆C的切线方程为：3x+4y-20=0或x=-4．（6分）

（2）当直线AB的斜率不存在时，S△ABC=3，（7分）

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x-3），即kx-y-3k=0，

圆心O（0，0）到直线AB的距离d=，（9分）

线段AB的长度|AB|=2，

∴S△ABC=|AB|d=d=≤=8．（11分）

当且仅当d2=8时取等号，此时 =8，解得k=±2．

所以，△OAB的最大面积为8，此时直线AB的斜率为±2．（12分）

（Ⅰ）∵圆M与x轴交于两点A（-5，0）、B（1，0），

∴圆心在AB的垂直平分线上，即C在直线x=-2上．

由，解得，即圆心M的坐标为（-2，1）．

∴半径r=|BM|==，

因此，圆M的方程为（x+2）2+（y-1）2=10．

（Ⅱ）∵点C（1，2）满足（1+2）2+（2-1）2=10，

∴点C在圆M上，可得经过点C与圆M相切的直线与CM垂直．

∵CM的斜率kCM=，∴过点C的切线斜率为k==-3，

由此可得过点C的圆M的切线方程为y-2=-3（x-1），化简得3x+y-5=0．

（I）∵圆C方程为x2-2ax+y2-4y+a2=0，

∴化成标准方程得（x-a）2+（y-2）2=4，

可得圆心为C（a，2），半径r=2．

由此可得C到直线l：x-y+3=0的距离为d==|a+1|，

∵直线l被圆C截得的弦长为2，

∴根据垂径定理，可得=，

即=，

解得a=1或-3，

结合a＞0，可得a=1（负值舍去）；

（II）由（I）可得圆C的方程为（x-1）2+（y-2）2=4，

设过点（3，5）并与圆C相切的直线为m：y-5=k（x-3），

即kx-y-3k+5=0，

∵直线m与圆C相切，

∴点C到直线m的距离等于半径，

即=2，解之得k=，

可得直线m方程为y-5=（x-3），

化简得5x-12y+45=0．

又∵当经过点（3，5）的直线斜率不存在时，方程为x=3，也与圆C相切，

∴所求切线方程为x=3和5x-12y+45=0．

设双曲线方程为-=1

以过原点与圆x2+y2-4x+3=0相切的两直线

y=±x

∴=

∴b2=3a2整理椭圆方程得+x2=1

焦点（0，）（0，-）代入椭圆方程求得a=

∴b=3

∴双曲线方程-=1

故答案为-=1

（Ⅰ）依题可得：⇒a=2，b=1，c=

所以椭圆的方程为：+y2=1（4分）

（Ⅱ）由得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，

设A（x1，y1）B（x2，y2），

x1+x2=，x1•x2=，

又•=x1•x2+y1y2

=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）

=（k2+1）+km+m2

=，

∵直线l与圆x2+y2=相切，

∴原点O到直线l的距离为：=∴5m2=4k2+4

∴x1•x2+y1•y2=0

∴∠AOB为直角．

（l）设过点A（3，5）的直线ɭ的方程为y-5=k（x-3）．

因为直线ɭ与⊙C相切，而圆心为C（2，3），则=1，解得k=

所以切线方程为y-5=（x-3），即3x-4y+11=0．

由于过圆外一点A与圆相切的直线有两条，因此另一条切线方程为x=3．

（2）因为原点在圆外，所以设在两坐标轴上截距相等的直线方程x+y=a或y=kx．

由直线与圆相切得，=1或=1，解得a=5士，k=

故所求的切线方程为x+y=5士或y=x．

（1）圆C：x2+y2+2x-4y+3=0即（x+1）2+（y-2）2=2，

表示圆心为C（-1，2），半径等于的圆．

设斜率为-1的切线方程为x+y-a=0，过原点的切线方程为kx-y=0，

则圆心C到切线的距离等于半径，

可得：=，求得a=-1或3．

再由=，求得k=2±，

故所求的切线的方程为x+y-3=0或x+y+1=0或y=（2±）x；

（2）由（1）圆C（x+1）2+（y-2）2=2的圆心在（-1，2），半径等于．

∵点P（m，n）关于直线x-y-3=0的对称的点为P'（n+3，m-3）

∴点（-1，2）关于直线x-y-3=0对称的点的

坐标为（2+3，-1-3）即（5，-4），

故圆C关于直线x-y-3=0的对称的圆方程是（x-5）2+（y+4）2=2；

（3）设P的坐标为（x，y）

由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，

∴|PM|2=|PC|2-r2．

又∵|PM|=|PO|，∴|PC|2-r2=|PO|2，

∴（x1+1）2+（y1-2）2-2=x12+y12．

∴2x1-4y1+3=0即为动点P的轨迹方程．

∵原点在直线2x-4y+3=0上的射影点为（-，），

∴使|PM|最小的P点的坐标为（-，）．

（1）由条件知点M在圆O上，

∴1+a2=4

∴a=±

当a=时，点M为（1，），kOM=，k切线=-

此时切线方程为：y-=-（x-1）

即：x+y-4=0

当a=-时，点M为（1，-），kOM=-，k切线=

此时切线方程为：y+=（x-1）

即：x-y-4=0

∴所求的切线方程为：x+y-4=0或即：x-y-4=0

（2）当AC的斜率为0或不存在时，可求得AC+BD=2（+）

当AC的斜率存在且不为0时，

设直线AC的方程为y-=k（x-1），

直线BD的方程为y-=-（x-1），

由弦长公式l=2

可得：AC=2

BD=2

∵AC2+BD2=4（+）=20

∴（AC+BD）2=AC2+BD2+2AC×BD≤2（AC2+BD2）=40

故AC+BD≤2

即AC+BD的最大值为2

（Ⅰ）A（，0），F（1，0）．

椭圆c=1，e=，∴a=，b2=a2-c2=1，

∴椭圆D的方程为+y2=1．（5分）

（Ⅱ）证明：设点P（x1，y1），

过点P的圆的切线方程为y-y1=-（x-x1）

即y=-（x-x1）+y1．

由x12+y12=2得y=-x+，

令x=2得y=-，故点Q(2，-)

∴KOQ=，又KPF=∴KPF•KOQ=-1

∴PF⊥OQ．（12分）