热门试卷

将圆的方程配方得（x+）2+（y+1）2=，圆心C的坐标为（-，-1），半径r=，

条件是4-3a2＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即＞．

化简得a2+a+9＞0．

由4-3a2＞0，a2+a+9＞0，

解之得-＜a＜，

a∈R．

∴-＜a＜．

故a的取值范围是（-，）．

当切线方程的斜率不存在时，切线方程为：x=x0；

当切线方程的斜率存在时，

由x2+y2=r2，可知圆心为原点（0，0），M（x0，y0），

所以直线OM的斜率k=，

根据所求切线与直线OM垂直得到切线的斜率k′=-，

则切线方程为y-y0=-（x-x0）；

即x0x+y0y-x02-y02=0，

综上，所求切线方程为x=x0或x0x+y0y-x02-y02=0．

（1）kMC=，（1分），kl=-．l：y=-x++1．

（2）设A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），

l：bx+ay-ab=0.d==1，

（a-2）（b-2）=2，ab-2（a+b）+2=0，ab+2=2(a+b)≥4，≥2+，（6分）

ab≥6+4．当且仅当a=b=2+时，ab=6+4．

面积S=ab≥3+2，

此时△AOB为直角边长为2+的等腰直角三角形．

周长L=a+b+≥2+=(2+)≥(2+)2=6+4．

此时△AOB为直角边长为2+的等腰直角三角形．

∴此时的△AOB为同一三角形．

（3）l的方程为x+y-2-=0，得A(2+，0)，B(0，2+)，

⊙M：（x-1）2+（y-1）2=1，设P（m，n）为圆上任一点，

则：（m-1）2+（n-1）2=1，m2+n2=2（m+n）-1，(m-1)2+(n-1)2=1≥，2-≤m+n≤2+．PA2+PB2+PC2=3m2+3n2-(4+2)(m+n)+2(2+)2=(9+8)-(2-2)(m+n)．

当m+n=2-时，(PA2+PB2+PO2)max=(9+8)-(2-2)(2-)=17+2．

此时，m=n=1-．

当m+n=2+时，(PA2+PB2+PO2)min=(9+8)-(2-2)(2+)=9+6．

此时，m=n=1+．

（1）因为入射光线与反射光线垂直，

所以入射光线与准线所成的角为45°，…（2分）

即∠FAO=45°，

所以b=c，

所以椭圆的离心率为．                                                    …（6分）

（2）由（1）知b=c，a=c，

可得A（0，c），B（2c，-c），又AF⊥AB，

所以过A，B，F三点的圆的圆心坐标为(，-)，

半径r=FB=c，…（8分）

因为过A，B，F三点的圆恰好与直线3x-y+3=0相切，…（10分）

所以圆心到直线3x-y+3=0的距离等于半径r

，即=c，

得c=1，…（14分）

所以b=1，a=，

所以椭圆的方程为+y2=1．   …（16分）

所求圆的圆心坐标为 （1，-2），因为直线与圆相切，所以圆的半径为：=

所以所求圆的方程为：（x-1）2+（y+2）2=5．

（1）圆C：x2+y2+2x-4y+3=0化为（x+1）2+（y-2）2=2，圆心为C（-1，2），半径r=．

由题意可知：切线的斜率存在．

①当切线经过原点时，设切线方程为y=kx，则=，解得k=2±．此时切线方程为y=(2±)x．

②当切线不经过原点时，设切线方程为±=1，即x±y=a，

则=，解得a=-1或3或-5，

此时切线方程为．x±y+1=0，x-y+5=0，x+y-3=0．

（2）∵|PM|=|PO|，∴=，化为2x1-4y1+3=0，即为点P的轨迹方程，

∵|PM|=|PO|，∴|PO|的最小值为原点O到此直线的距离d==．

（Ⅰ）因为32+(-2)2-2×3+4(-2)-4=0，所以，点P在圆上．   …（2分）

又因为圆心C（1，-2）所以 kCP=，…（3分）

所以切线斜率k=-=，…（4分）

所以方程为y-(-2)=-(x-3)，即2x+y-11+2=0．…（6分）

（Ⅱ）设这样的直线存在，其方程为y=x+b，它与圆C的交点设为A（x1，y1）、B（x2，y2），

则由 可得2x2+2（b+1）x+b2+4b-4=0（*），…（7分）

∴．…（9分）

∴y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b(x1+x2)+b2．…（10分）

由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0，∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，

即b2+4b-4-b（b+1）+b2=0，b2+3b-4=0，∴b=1，或b=-4．…（12分）

容易验证b=1或b=-4时方程（*）有实根．

故存在这样的直线，有两条，其方程是y=x+1，或y=x-4．…（14分）