热门试卷

解：（1）∵O（0，0），A（6，2），

∴直线OA的方程斜率为=，

∴线段OA垂直平分线的斜率为﹣，

又线段AO的中点坐标为（3，），

∴线段OA垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x﹣3），即x+y﹣4=0①，

又线段OB的垂直平分线为x=4②，

∴将②代入①解得：y=0，

∴圆心C的坐标为（4，0），

又|OC|=4，即圆C的半径为4，

则圆C的方程为：（x﹣4）2+y2=16；

（2）显然切线方程的斜率存在，设切线l的斜率为k，又切线过（2，6），

∴切线l的方程为y﹣6=k（x﹣2），即kx﹣y+6﹣2k=0，

∴圆心到切线的距离d=r，即=4，

解得：k=，

则切线l的方程为：y﹣6=（x﹣2）； 

（3）当直线l的斜率不存在时，显然直线x=2满足题意；

当直线l的斜率存在时，设斜率为k，又直线l过（2，6），

∴切线l的方程为y﹣6=k（x﹣2），

即kx﹣y+6﹣2k=0，

又弦长为4，半径r=4，

∴圆心到切线的距离d==2，即=2，

解得：k=﹣，

∴直线l的方程为y﹣6=﹣（x﹣2），

即4x+3y﹣26=0，

综上，直线l的方程为x=2或4x+3y﹣26=0．

解：（1）设

解得a=1或（舍去）

由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k.

所以直线PA的方程为y-1=k(x-2)，即kx-y-2k+1=0

直线PA与圆M相切，

，解得k=0或

直线PA的方程是y=1或4x+3y-11=0

（2）设

与圆M相切于点A，

经过A，P，M三点的圆的圆心D是线段MP的中点.

的坐标是

设

当，即时，

当，即时，

当，即时

则

（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，即直线x=1，符合题意．（2分）

②若直线l1斜率存在，设直线l1为y=k（x-1），即kx-y-k=0．

由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，

即=2解之得k=．

所求直线方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分）

（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0

由得N(，-)又直线CM与l1垂直，

得M(，)．

∴AM*AN=•=6为定值．（10分）

解：（1）设所求直线方程为y=﹣2x+b，即2x+y﹣b=0，∵直线与圆相切，

∴，得，

∴所求直线方程为，

（2）方法1：假设存在这样的点B（t，0），

当P为圆C与x轴左交点（﹣3，0）时，；

当P为圆C与x轴右交点（3，0）时，，

依题意，，解得，t=﹣5（舍去），或．

下面证明点对于圆C上任一点P，都有为一常数．

设P（x，y），则y2=9﹣x2，

∴，

从而为常数．

方法2：假设存在这样的点B（t，0），使得为常数λ，则PB2=λ2PA2，

∴（x﹣t）2+y2=λ2[（x+5）2+y2]，将y2=9﹣x2代入得，

x2﹣2xt+t2+9﹣x2=λ2（x2+10x+25+9﹣x2），

即2（5λ2+t）x+34λ2﹣t2﹣9=0对x∈[﹣3，3]恒成立，

∴，解得或（舍去），

所以存在点对于圆C上任一点P，都有为常数．

解：（1）设双曲线的渐近线方程为y=kx，

因为渐近线与圆（x-5）2+y2=5相切，

则，即

所以双曲线的渐近线方程为

设双曲线方程为x2-4y2=m，

将代入双曲线方程，

整理，得3x2+56x+112+4m=0

所以，

因为|PA|·|PB|=|PC|2，

点P，A，B，C共线，且点P在线段AB上，

则（xP-xA）（xB-xP）=（xP-xC）2，

即（xB+4）（-4-xA）=16

所以4（xA+xB）+xAxB+32=0

于是，解得m=4

故双曲线方程是x2-4y2=4，即。

（2）设点M（x，y），圆的圆心为D，

则x2-4y2=4，点D（0，2）

所以|MD|2=x2+（y-2）2=4y2+4+（y-2）2 

所以

从而

故|MN|的取值范围是。

（1）证明：曲线C的方程可变形为（x2+y2﹣20）+（﹣4x+2y+20）a=0．

由，解得

∴点（4，﹣2）满足C的方程，

故曲线C过定点（4，﹣2）．

（2）证明：原方程配方得（x﹣2a）2+（y+a）2=5（a﹣2）2，

∵a≠2，∴5（a﹣2）2＞0

∴C的方程表示圆心是（2a，﹣a），半径是|a﹣2|的圆

设圆心坐标为（x，y），

则有，消去a可得y=﹣x，

故圆心必在直线y=﹣x上．

（3）解：由题意得5|a﹣2|=|a|，解得a=．

已知A（-4，0），B（2，0）以AB为直径的圆的方程为：（x+4）（x-2）+y2=0

以AB为直径的圆与y轴的负半轴交于C（0，-2），圆心与C连线的斜率为：-2

所以切线的斜率为：=

所以切线方程为：y+2=x-0）即：x-4y-8=0

过C点的圆的切线方程：x-4y-8=0

解：（1）设A、B两点坐标分别为

由题设知

解得

所以或

设圆心C的坐标为（r，0），则

因此圆C的方程为。

（2）设∠ECF=2a，则

在Rt△PCE中，

由圆的几何性质得≤，≥

所以≤≤

由此得-8≤≤

故的最大值为，最小值为-8。

解：配方得圆的方程：（x﹣m）2+（y﹣1）2=（m﹣2）2+1

（1）当m=2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小．

（2）当m=2时，圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1

设所求的直线方程为y+2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣2=0由直线与圆相切，

得，

所以切线方程为，即4x﹣3y﹣10=0

又过点（1，﹣2）且与x轴垂直的直线x=1与圆也相切

所发所求的切线方程为x=1与4x﹣3y﹣10=0．

解：（1）∵l与圆相切

∴

∴m2=1+k2由得（1-k2）x2-2mkx-（m2+1）=0

∴

∴k2＜1，

∴-1＜k＜1

故k的取值范围为（-1，1）

由于

所以

∵0≤k2＜1

∴当k2=0时，x2-x1取最小值。

（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（-1，0），（1，0）

∴

∴

由（1）得m2-k2=1

∴为定值。

解：（1）依题意，M（4，0）

设P（x，y）（x≠0且x≠4），

由PM⊥PO，得，

即x（x﹣4）+y2=0

整理得：动点P的轨迹C的方程为（x﹣2）2+y2=4（x≠0且x≠4）

（2）因为DE、DM都是圆（x﹣2）2+y2=4的切线，所以DE=DM

因为E点是DF的中点，所以DF=2DE=2DM，

所以∠DFN=

设C（2，0），

在△CEF中，∠CEF=，∠CFE=，CE=2，

所以CF=4，FM=6

从而DM=2，

故D（4，±2）

解：（1）由x2+y2+Dx+Ey+3=0，

得

∴圆C的圆心C的坐标为

半径

由，得

故D2+E2=20  ①

∵圆C关于直线x+y-1=0对称，

故圆心在直线x+y-1=0上，

∴，故D+E=-2，②

由②式，得E=-2-D，

代入①式，得D2+（-2-D）2=20，

即D2+2D-8=0，解得D=-4，或D=2

又∵圆心在第二象限，

故，解得D>0，

故D=2，E=-2-2=-4，

∴圆C的方程为：x2+y2+2x-4y+3=0，

即（x+1）2+（y-2）2=2。

（2）直线l在x轴，y轴上的截距相等，设为a，

由（1）知圆C的圆心C（-1，2），

当a=0时，直线l过原点，设其方程为y=kx，

即kx-y=0，

若直线l：kx-y-0与圆C相切，则

即k2-4k-2=0，解得

此时直线l的方程为

即

当a≠0时，直线l的方程为

即x+y-a=0，

若直线l：x+y-a=0与圆C相切，

则

即|a-1|=2，解得a=-1，或a=3

此时直线l的方程为x+y+1=0，或x+y-3=0

综上所述，存在四条直线满足题意，其方程为或x+y+1=0或x+y-3=0。