热门试卷

解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为 ，（a＞b＞0），∴a2=b2+16，

即椭圆的方程为 ，

∵点 在椭圆上，∴ ，

解得b2=20或b2=﹣15（舍），由此得a2=36，

所以，所求椭圆C的标准方程为 ．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣6，0），F（4，0），又 ，则得 ， 

所以 ，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，

因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，

又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，

而 ，所以PQ的斜率为 ，

因此，过P点引圆M的切线方程为： ，即 

令y=0，则x=9，∴Q（9，0），

又M（﹣1，0），所以 ，

 因此，所求的图形面积是S=S△PQM﹣S扇形MPF= ．

解：（1）点A代入圆C方程得

∵m＜3

∴m=1

圆C：

设直线PF1的斜率为k

则PF1：

即

∵直线PF1与圆C相切

∴

解得或

当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去

当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为-4

∴c=4，F1（-4，0），F2（4，0），2a=AF1+AF2=，

，a2=18，b2=2

椭圆E的方程为：。

（2），设Q（x，y），，

∵，

即，

而，

∴-18≤6xy≤18

则的取值范围是[0，36]

的取值范围是[-6，6]

∴的取值范围是[-12，0]。

解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为，（a＞b＞0），

∴a2=b2+16，即椭圆的方程为，

∵点在椭圆上，

∴，解得b2=20或b2=﹣15（舍），

由此得a2=36，

所以，所求椭圆C的标准方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣6，0），F（4，0），

又，则得，

所以，即∠APF=90°，

△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，

因此，过P点能引出该圆M的切线，

设切线为PQ，交x轴于Q点，

又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，

而，所以PQ的斜率为，

因此，过P点引圆M的切线方程为：，即

令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（﹣1，0），

所以，

因此，所求的图形面积是S=S△PQM﹣S扇形MPF=．

解：（1）因为，且，所以，

所以椭圆C的方程为；

（2）由题意知，

由得，

所以圆P的半径为，

解得，

所以点P的坐标是（0，）。

解：（1）设Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）知

∵

∴

由，得

∴b2=3c2=a2-c2，

故椭圆的离心率。

（2）由（1）知，得

于是

△AQF2的外接圆圆心为

半径

所以由已知，得

解得a=2，

∴c=1，

所求椭圆方程为：。

（3）由（2）知 F2（1，0），l：y=k（x-1）（k≠0）

由得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0

由直线l与椭圆C交于M，N两点，且过椭圆C的右焦点F2，P，M，N不共线知必有Δ>0，故k≠0，且k∈R则，y1+y2=k（x1+x2-2）

（x1-m，y1）+（x2-m，y2）=（x1+x2-2m，y1+y2）

由于菱形对角线垂直，则

即k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，

则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，

∴

∴

故存在满足题意的点P，且m的取值范围是。

（1）证明：∵、A2与B分别是椭圆E：的左右顶点与上定点，

∴（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），

∴直线A2B的方程是，

∵直线A2B与圆C：x2+y2=1相切，

∴=1，

故．

（2）解：设P（，），则直线P，PA2的斜率之积为：

===﹣，，

∵，

∴，

结合，得，

∴椭圆E的方程为．

（3）解：设点M（，），N（x2，y2），

①若直线l的斜率存在，设直线l为y=kx+m，

由y=kx+m代入，得，化简，

得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0（△＞0），

∴，y2=（k+m）（kx2+m）=k2x2+km（+x2）+m2=+km（﹣）+m2=，

∵，

∴x2+y2=0．代入，得（a2+b2）m2﹣a2b2（1+k2）=0，

∵，

∴m2=1+k2，圆心到直线l的距离为d=，

所以，直线l与圆C相切．

②若直线l的斜率不存在，设直线l：x=n，代入，得y=，

∴|n|=b，

∴a2n2=b2（a2﹣n2），

解得n=±1，

所以直线l与圆C相切．

解：（1）

所求椭圆方程为。

（2）由（1）知F2（1，0），

设的方程为：

将直线方程与椭圆方程联立，得   

①代入②，得

设交点为  

因为  则

若存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，

由于菱形对角线垂直，则

又，

∵的方向向量是，

故

由已知条件知且，

故存在满足题意的点且的取值范围是。

解：（Ⅰ）由题意，，

解得a=1，c=，

b2=c2﹣a2=2，

∴所求双曲C的方程．

（Ⅱ）P（m，n）（mn≠0）在x2+y2=2上，

圆在点P（m，n）处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），

化简得mx+ny=2．

以及m2+n2=2得

（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0，

∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜m2＜2，

3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）（8﹣2m2）＞0，

设A、B两点的坐标分别（x1，y1），（x2，y2），

x1+x2=，x1x2=．

∵，

且

=x1x2+[4﹣2m（x1+x2）+m2x1x2]

=+[4﹣+]

=﹣=0．

∴∠AOB的大小为900．

解：（1）设抛物线C的方程为y2=2px（p>0）

由，即p=1

所以抛物线C的方程为y2=2x。

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由|FA|=2|FB|，

故

即

又由得

故

解①②③构成的方程组得x1=1，，

又由Δ=（k2-2）2-k4=4-4k2>0，即-1＜k＜1，所求得的k适合，

因此所求得的k的值为。

（3）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b>c，

∴直线PR的方程为（y0-b）x-x0y+x0b=0

∵圆（x-1）2+y2=1内切于△PRN，

则圆心（1，0）到直线PR的距离为1，

，化简，得

（x0-2）b2+2y0b-x0=0

同理可得（x0-2）c2+2y0c-x0=0

由于x0>2，所以b，c为方程（x0-2）x2+2y0x-x0=0的两根，

∴

∴

∴

当且仅当x0=4时取等号，

所以△PRN的面积最小值为8。

解：（1）曲线C1：，

曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；

曲线C2：（x-1）2+（y+2）2=5，

曲线C2为圆心为（1，-2），半径为的圆。

（2）曲线C1：与x轴的交点坐标为(-4，0)和(4，0)，

因为m＞0，所以点P的坐标为(4，0)，

显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y=k（x-4），

由曲线C2为圆心为（1，-2），半径为的圆得，解得，

所以切线l的方程为。

解：(1)设l的方程为：y=k(x-2)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去x得：，，y1y2=-8，

若∠AEQ=∠BEQ，则kAE+kBE=0，

即，

，

故存在m=-2，使得∠AEQ=∠BEQ。

(2)设P(x0，y0)在抛物线上，由抛物线的对称性，不妨设y0＞0，

则过P点的切线斜率，

切线方程为：，

令x=0，∴，

令x=2，

∴，

则以QN为直径的圆的圆心坐标为O′，半径，

∴

，

∴|MT|=，即切线长|MT|为定值。

解：(1)设

由，得

∴过点的切线方程为：，

即                    

由已知：，

又，                          

，即点坐标为，                                     

∴直线的方程为：.                                  

（2）由已知，直线的斜率存在，

则设直线的方程为：，      

联立，得

＝         

故的取值范围是