- 圆与方程
- 共4684题
曲线C1的参数方程为
（1）化曲线C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P（m，0），经过点P作曲线C2的切线l，求切线l的方程。
正确答案
解：（1）曲线C1：
曲线C2：
曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C2为圆心为（1，-2），半径为
（2）曲线C1与x轴的交点坐标为
因为
所以点P的坐标为
显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为
由曲线C2为圆心为
所以切线l的方程为
若直线
正确答案
如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4。
（1）求线段PF的长度；
（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度。
正确答案
解：（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC
又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，
从而∠PFD=∠OCP，
故△PFD∽△PCO，
由割线定理知PC·PD=PA·PB=12，
故
（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，
因为OF=2-r=1，即r=1，
所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT
则PT2=PB·PO=2×4=8，即
选做题
如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．
正确答案
（1）证明：在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD
又∠BAE=∠EDC
∵BD∥MN ∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线，
∴∠DCN=∠CAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△ABE≌△ACD
（2）解：∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴BC=BE=4
设AE=x，易证△ABE∽△DEC
∴
∴DE=
又AE·EC=BE·ED EC=6﹣x
∴4×
∴x=
如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点。
（1）求证：AD∥OC；
（2）若⊙O的半径为1，求AD·OC的值。
正确答案
解：（1）如图，连接BD、OD
∵CB、CD是⊙O的两条切线
∴BD⊥OC，
∴∠2+∠3=90°
又AB为⊙O直径，
∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3，
∴AD∥OC 。
（2）AO=OD，则∠1=∠A=∠3
∴Rt△BAD∽Rt△ODC，
∴AD·OC=AB·OD=2。
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD。
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED=
正确答案
（1）证明：如图，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线。
（2）解：∵ED是直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠E+∠EDC=90° ，
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E，
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴
∵tan∠CED=
∵△BCD∽△BEC，
∴
设BD=x，则BC=2，
又BC2=BD·BE，
∴（2x）2=x·（x+6），解得：x1=0，x2=2，
∵BD=x＞0，∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5。
如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，过点C作圆O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．
(Ⅰ)求证：AB2=DE·BC；
(Ⅱ)若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．
正确答案
解：(Ⅰ)∵AD∥BC，
∴
又PC与圆O相切，
∴
∴
∴
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
∵
∴
又∵
∴
∴
选做题
如图，已知圆上的弧AC=弧BD，过C的圆的切线与
（1）证明：
（2）若
正确答案
解：（1）∵
又∵EC为圆的切线
∴∠ACE=∠ABC
∴∠ACE=∠BCD
(2)由圆内接四边形ABCD，
∴∠CDB=∠EAC∴∠EAC=∠BEC
由三角形BCE相似于三角形CDB
如图：
已知圆上的弧
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC2=BE×CD．
正确答案
（Ⅰ）因为
所以∠BCD=∠ABC．
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故
即BC2=BE×CD．（10分）
（选做题）
如图所示，已知AB是圆O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD。
（Ⅰ）求证：直线CE是圆O的切线；
（Ⅱ）求证：AC2=AB·AD。
正确答案
证明：（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以
又因为
又因为AC平分∠BAD，所以
所以
所以CE是⊙O的切线；
（Ⅱ）连接BC，因为AB是圆O的直径，所以
因为
所以
所以
即
如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P。
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD 的长。
正确答案
解：（1）连接AB，
∵ AC是⊙O1的切线，
∴∠BAC=∠D
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E
∴AD∥EC。
（2）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，
∴PA2=PB·PD
∴62=PB·（PB+9）
∴PB=3
又⊙O2中由相交弦定理，得PA·PC= BP·PE，
∴PE =4
∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，
∴AD2=DB·DE =9×16
∴AD=12。
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，且DE交AC的延长线于点E，OE交AD于点F。
（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若
正确答案
（Ⅰ）证明：连结OD，可得
∴OD∥AE，又AE⊥DE，
∴DE⊥OD，
又OD为半径，
∴DE是⊙O的切线。
（Ⅱ）解：过点D作DH⊥AB于H，
则有
设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，DH=4x，
∴AH=8x，
由△AED∽△ADB可得，
∴AE=8x，
又由△AEF∽△DOF可得
∴
如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，圆O是△BDE的外接圆，
(Ⅰ)求证：AC是圆O的切线；
(Ⅱ)如果AD=6，AE=6
正确答案
(Ⅰ)证明：连接OE， 因为OE=OB，
所以∠OEB=∠OBE，
又因为BE平分∠CBD，
所以∠CBE=∠DBE，
所以∠OEB=∠CBE，
所以EO∥CB，
因为∠C=90°，
所以∠AEO=90°，即AC⊥OE，
因为E为圆O半径OE的外端，
所以AC是圆O的切线。
(Ⅱ)解：因为AC是圆O的切线，所以AE2=AD·AB，
因为AE=6
所以
因为EO∥CB，
所以
所以
⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G。
（1）求证：圆心O在直线AD上；
（2）求证：点C是线段GD的中点。
正确答案
解：（1 ）∵
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴圆心O在直线AD上。
（2）连接DF，由（1）知，DH是⊙O的直径，
∴
∴
又∵
∴
∵
所以
∴
∴
∴点C是线段GD的中点。
已知：直线AB过圆心O，交⊙O于AB，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC。
（1）∠BAC=∠CAG；
（2）AC2=AE·AF。
正确答案
解：（1）连结BC，由AB为⊙O的直径所以
又因为
又因为GC与⊙O相切于C，
所以
所以
（2）由（1）可知
又因为GE与⊙O相切于C，
所以
所以
所以
所以
所以
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