圆与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.

正确答案

1

x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有2－2＝2解得a＝1或－1(舍去)．

1

题型：填空题

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填空题

圆关于原点对称的圆的方程为 ___ 。

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2+（y+3）2=1外切，动圆圆心M的轨迹方程是______．

正确答案

由题意动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2+（y+3）2=1外切

∴动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等

由抛物线的定义知，点M的轨迹是以C（0，-3）为焦点，直线y=3为准线的抛物线

故所求M的轨迹方程为：x2=-12y．

故答案为：x2=-12y．

1

题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）曲线(α为参数）与曲线ρ2-2ρcosθ=0的交点个数为______．

正确答案

曲线(α为参数）的普通方程为 x2+（y-1）2=1，表示以（0，1）为圆心、半径等于1的圆．

曲线ρ2-2ρcosθ=0即x2+y2-2x=0，即（x-1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆．

两圆的圆心距等于，大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，故两圆相交，

故两曲线的交点个数为2，

故答案为2．

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题型：填空题

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填空题

当且仅当m≤r≤n时，两圆x2+y2=49与x2+y2-6x-8y+25-r2=0（r＞0）有公共点，则n-m的值为______．

正确答案

整理x2+y2-6x-8y+25-r2=0得（x-3）2+（y-4）2=r2，

∴题设中的两个圆一个是以（0，0）为圆心7为半径，另一个是以（3，4）为圆心r为半径．

要使两圆有公共点需2≤r≤12，进而可知m=2，n=12

∴n-m=10

故答案为10

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题型：简答题

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简答题

已知圆，

（Ⅰ）若直线过定点 (1，0)，且与圆相切，求的方程；

(Ⅱ) 若圆的半径为3，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程．

正确答案

（Ⅰ）或； (Ⅱ)

试题分析：（Ⅰ）此问注意直线斜率不存在的情况，应分斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时由圆心到直线的距离等于半径求出直线斜率； (Ⅱ)先设出圆心坐标，然后由两圆外切，知圆心距等于两半径之和，从而求出圆心D的坐标，写出圆D方程.

试题解析：（Ⅰ）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意．

②若直线斜率存在，设直线为，即．

由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，

即解之得．所求直线方程是，．

（Ⅱ）依题意设，又已知圆的圆心，

由两圆外切，可知

∴可知＝，解得，∴ ，

∴所求圆的方程为．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知动圆经过点，且与圆内切.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）求轨迹E上任意一点到定点B（1，0）的距离的最小值，并求取得最小值时的点M的坐标.

正确答案

（1）曲线的方程为．

（2）；

解:（1）依题意，动圆与定圆相内切，得|，可知到两个定点、的距离的和为常数，并且常数大于，所以点的轨迹为以A、C焦点的椭圆，可以求得，，，

所以曲线的方程为． ……………………… 6分

（2）解：=

因为：，所以，当时，最小。

所以，； ……………………… 14分

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题型：填空题

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填空题

已知点在圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为 .

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D=46°，则∠A= ．

正确答案

．67°

结合已知及圆的切线的性质可求∠DBC=∠DCB，由DB，DC是⊙O的两条切线可知∠DBC是圆的弦切角，且A是圆的圆周角

由弦切角定理可知，∠DBC=∠A，从而可求

解答：解：由圆的切线的性质可知，DB=DC

∵∠D=46°

∴∠DBC=∠DCB=67°

∵DB，DC是⊙O的两条切线

∴∠DBC是圆的弦切角，且A是圆的圆周角

由弦切角定理可知，∠DBC=∠A=67°

故答案为67°

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题型：填空题

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填空题

圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2-6x+2y-15=0的位置关系为______．

正确答案

由题意，将圆方程化为标准方程得：（x+1）2+（y+3）2=1，（x-3）2+（y+1）2=25，

∴圆心距为2

∴5-1＜2＜5+1

∴两圆相交

故答案为：相交．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）已知、，圆内动点满足，求的取值范围．

正确答案

解：（1）依题意，圆的半径等于圆心到直线的距离，

即． …………………4分

∴圆的方程为． …………………6分

（2）设，由，

得，即． ………………9分

……11分

∵点在圆内，∴，

∴的取值范围为． ……………………………………………14分

略

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题型：填空题

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填空题

(几何证明选讲选做题)已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2.AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径为R= 。

正确答案

本题考查圆的切割线定理及应用，由PA＝2， PB＝1及，得，又由于PA是圆O的切线，切点为A，故，

故半径R=。

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题型：简答题

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简答题

若动圆P恒过定点B（2，0），且和定圆外切.

（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；

（2）若过点B的直线l与曲线E交于M、N两点，试判断以MN为直径的圆与直线是否相交，若相交，求出所截得劣弧的弧度数，若不相交，请说明理由.

正确答案

（1）（2）相交

（1）由于圆P与圆C相外切即

∴动圆P的圆心的轨迹是以B、C为焦点，实轴长为2的双曲线的右支

∴动点P的轨迹方程为………………6分（缺少扣1分）

（2）由（1）知B（2，0），直线为双曲线的过右焦点的右准线，则MN为焦点弦.…………………………7分

当直线l斜率存在时，设代入中得：

又MN的中点A到直线的距离

∴以MN为直径的圆与直线相交.……………………9分

截得劣弧弧度数等于所对圆心角θ的弧度数

又

当直线l斜率不存在时，则直线，经验证上述结论成立.……12分

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题型：填空题

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填空题

设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．

正确答案

3

∵l与圆相交所得弦的长为2，＝，

∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤.l与x轴交点A(，0)，与y轴交点B(0，)，∴S△AOB＝·||||＝·≥×6＝3.

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题型：简答题

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简答题

圆O1和O2的极坐标方程分别为．

（1）把圆O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过圆O1和O2交点的直线的直角坐标方程．

正确答案

（1）为圆的直角坐标方程，为圆的直角坐标方程．

（2）

(I)根据，把极坐标方程化成普通方程.

（II）两圆方程作差，就可得到公共弦所在直线的方程.

解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

（Ⅰ），，由得．所以．

即为圆的直角坐标方程．

同理为圆的直角坐标方程．

（Ⅱ）由解得．

即圆，圆交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．

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