圆与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为

若到点、的“直角距离”相等，其中实

数、满足、，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为　　．

正确答案

：由条件得　　 ①

当时，①化为，无解；当时，①化为，无解；

当时，①化为　②若，则，线段长度为１；若，则，线段长度为；若，则，线段长度为４．综上可知，点的轨迹的构成的线段长度之和为．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知边长为的正三角形中，、分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行。求与平面间的距离？

正确答案

设、、的单位向量分别为、、，选取{，，}作为空间向量的一组基底。易知，

===，

设是平面的一个法向量，则，

，即，

直线与平面间的距离=

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题型：填空题

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填空题

如图，四面体DABC的体积为，且满足则 .

正确答案

即又

等号当且仅当时成立，这时面ABC，.

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题型：填空题

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填空题

若P在坐标平面xOy内，A点坐标为（0，0，4），且d（P，A）=5，则点P组成的曲线为______．

正确答案

设P（x，y，0），则d（P，A）=，

因为|PA|=5，所以x2+y2+16=25，即x2+y2=9．所以P点在xOy坐标面上形成一个以（0，0）为圆心，以3为半径的圆．

故答案为：以（0，0）为圆心，以3为半径的圆．

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题型：填空题

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填空题

若点A（2，1，4）与点P（x，y，z）的距离为5，则x，y，z满足的关系式是______．

正确答案

根据空间两点之间的距离公式可得：|PA|=，

因为点A（2，1，4）与点P（x，y，z）的距离为5，

所以=5，即（x-2）2+（y-1）2+（z-4）2=25．

故答案为：（x-2）2+（y-1）2+（z-4）2=25．

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点. 若点，之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为

正确答案

依题意，定点在直线上，直线与曲线的交点，，由两点间的距离公式得这两点间的距离为，∴满足条件.

设，则

设，∵，∴，，

即，解得，而，∴.

故满足条件的实数的所有值为，

【考点定位】考查函数与的图象性质，两点间的距离公式，考查不等式的性质、二次函数的最值. 较难题.

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题型：填空题

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填空题

在Z轴上有一点M，使得M到点A（1，0，2）与点B（1，-3，1）的距离相等，则M的坐标为______．

正确答案

设z轴上满足条件的点为M（0，0，z），

∵点M到点A（1，0，2）与点B（1，-3，1）的距离相等，

∴|AM|=|BM|，即=，

解之得z=-3，得M（0，0，-3）．

故答案为：（0，0，-3）．

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系内，有四个定点A(-3，0)，B(1，-1)，C(0，3)，D(-1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值是。

正确答案

如图，设AC与BD交于F点，则|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|，

|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|，因此，当动点P与F点重合时，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值。

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题型：简答题

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简答题

如图，在长方体中,，点是棱上的一个动点.

(1)证明:；

(2)当为的中点时，求点到面的距离；

(3)线段的长为何值时，二面角的大小为.

正确答案

（1）详见解析；（2）；（3）.

试题分析：解决立体几何中的垂直、距离及空间角，有几何法与空间向量法，其中几何法，需要学生具备较强的空间想象能力及扎实的立体几何理论知识；向量法，则要求学生能根据题意准确建立空间直角坐标系，写出有效点、有效向量的坐标必须准确无误，然后将立体几何中的问题的求解转化为坐标的运算问题，这也需要学生具备较好的代数运算能力.

几何法：（1）要证，只须证明平面，然后根据线面垂直的判定定理进行寻找条件即可；（2）运用的关系进行计算即可求出点到面的距离；（3）先作于，连接，然后充分利用长方体的性质证明为二面角的平面角，最后根据所给的棱长与角度进行计算即可得到线段的长.

向量法： (1)建立空间坐标，分别求出的坐标，利用数量积等于零即可；(2)当为的中点时，求点到平面的距离，只需找平面的一条过点的斜线段在平面的法向量上的投影即可；(3)设，因为平面的一个法向量为，只需求出平面的法向量，然后利用二面角为，根据夹角公式，求出即可.

试题解析：解法一：(1)∵平面，∴，又∵，∩，∴平面， 4分

(2)等体积法：由已知条件可得，，，所以为等腰三角形

=，，设点到平面的距离，根据可得，，即，解得 8分

(3)过点作于，连接

因为平面，所以，又，∩，所以平面

故，为二面角的平面角

所以，，，，

由可得， 14分

解法二: 以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系

设,则,

(1),,故；

(2)因为为的中点,则,从而, ,设平面的法向量为,则也即,得,从而,所以点到平面的距离为；

(3)设平面的法向量, 而, 由,即,得,依题意得: , ,解得 (不合,舍去),

∴时,二面角的大小为.

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题型：填空题

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填空题

在空间直角坐标系中，若点A（1，2，-1），点B（-3，-1，-6），则|AB|=______．

正确答案

∵点A（1，2，-1）点B（-3，-1，-6），

∴|AB|==5．

故答案为：5．

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题型：简答题

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简答题

（本题满分12分）在长方体中，，用过，，三点的平面截去长方体的一个角后，留下如图的几何体，且这几何体的体积为120．

（1）求棱的长；

（2）求点到平面的距离．

正确答案

（1）；（2） .

（1）剩下的几何体的体积是长方体的体积减去三棱锥的体积，由体积公式计算得的长；（2）因为长方体的共顶点的三条棱两两垂直，可建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，根据点到面的距离公式求解。也可根据体积相等求解。

（1）设，

…………4分

（2）如图建立空间直角坐标系，

则，，，．

设平面的法向量为，，

，由得…………8分

又，…………12分

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题型：填空题

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填空题

棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的

中点，则直线EF被球O截得的线段长为_________.

正确答案

a

略

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值是________.

正确答案

18

试题分析：动点到两直线和的距离之和为

即，设，则，

，若，当时，取得最大值为18，若，当时，取得最大值为10，综上可知，当点在时，取得最大值为18.

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题型：填空题

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填空题

若向量相互垂直，则点（2，3）到点（x，y）的距离的最小值为 .

正确答案

试题分析：由已知得：，所以点（2，3）到点（x，y）的距离的最小值即为点到直线的距离： .

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题型：填空题

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填空题

过点(2,3)与圆(x-1)2+y2=1相切的直线方程为_____.

正确答案

或

试题分析：若直线的斜率不存在，显然切线方程为；若斜率存在，设切线的斜率为，则过点的直线方程为，即，根据点到直线的距离公式得：

，解得，既得直线方程为，综上所求直线的方程为：

或.

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