热门试卷

解：∵∠ACD=90°，∴＝0.

同理＝0

∵AB和CD成60°角，∴〈〉＝60°或120°.

∵，

∴ 

＝

＝3＋2×1×1×cos〈〉

＝

∴| |＝2或，即B、D间的距离为2或.

略

证明见解析

本小题考查空间图形的线面关系，空间想象能力和逻辑思维能力．

解法一：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA1的平面为β，α∩β=c，则  c∥a．因而b，c所成的角等于θ，且AA1⊥c．

∵   AA1⊥b， ∴      AA1⊥α．

根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．

在平面β内作EG⊥c，垂足为G，则EG=AA1．并且根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连结FG，则EG⊥FG．在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2．

∵   AG=m，

∴ 在△AFG中，FG2=m2+n2－2mncosθ．

∵   EG2=d2，∴EF2=d2+m2+n2－2mncosθ．

如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧，则

EF2=d2+m2+n2+2mncosθ．

因此，EF=

解法二：经过点A作直线c∥a，则c、b所成的角等于θ，且AA1⊥c．

根据直线和平面垂直的判定定理，AA1垂直于b、c所确定的平面a．

在两平行直线a、c所确定的平面内，作EG⊥c，垂足为G，则EG平行且等于AA1，

从而EG⊥α．连结FG，则根据直线和平面垂直的定义，EG⊥FG．

在Rt△EFG中，EF2=EG2+FG2．

(以下同解法一)

本试题主要是考查了两点之间的距离的最值问题的运用。根据已知条件变形化简为一个点（-3,5）(2,15)到直线x-y+1=0的距离之和的最值问题。结合对称性得到结论。

解：

可看作点和 到直线上的点的距离之和，……………………………4分

作关于直线对称的点，………………………8分

则 ………………………………12分

（1）；（2）见解析.

本试题主要考查了立体几何中二面角的求解和点到面的距离的综合运用。

解：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0，1,0)，B(1,0,1)．D(0,1,)

设平面BA1D的一个法向量为n1＝(x，y，z)，

解得

取,得n1＝(2，－1，2)．

又n2＝(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，

∴cos〈n1·n2〉＝＝＝.

故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.

(3)∵＝(1，－2,0)，＝，

设平面B1DP的一个法向量为n3＝(a1，b1，c1)．

令c1＝1，可得n3＝.

又＝，

∴C到平面B1DP的距离d＝＝.

设PA⊥α于A，PB⊥β于B．过PA与PB作平面r与α交于AO，与β交于OB，

∵PA⊥α，PB⊥β，∴a⊥PA，且a⊥PB

∴a⊥面r，∴a⊥PO，PO的长为P到棱a的距离．

且∠AOB是二面角之平面角，∠AOB =120°

∴∠APB = 60°，PA = a，PB = b．

∵，

∴．

             已知                           所求

河堤斜面与水平面所成角为60°           E到地面的距离

利用E或G构造棱上一点F              以EG为边构造三角形

解：取CD上一点E，设CE＝10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度．

在河堤斜面内，作EF⊥AB．垂足为F，连接FG，由三垂线定理的逆定理，知FG⊥AB．因此，∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，∠EFG＝60°．

由此得：

EG＝EFsin60°

＝CE sin30°sin60°

＝10××≈4.3（m）

答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约4.3米．