圆与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点。

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求直线和平面的所成角的正弦值。

（3）求点E到面ABC的距离。

正确答案

（1）；（2）；（3）．

试题分析：由于本题中有两两垂直，故可建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线所成的角，直线与平面所成的角，点到平面的距离，要注意异面直线所成的角只能是锐角或直角．

试题解析：（1）以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.

则有、、、 3分

COS<> 4分

所以异面直线与所成角的余弦为 5分

（2）设平面的法向量为则

， 7分

则， 8分

故BE和平面的所成角的正弦值为 9分

(3)E点到面ABC的距离

所以E点到面ABC的距离为 12分

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题型：简答题

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简答题

求倾斜角是45°,并且与原点的距离是5的直线的方程.

正确答案

,或

试题分析：求出倾斜角是45°的直线的斜率，设出直线方程，利用原点与直线的距离为5，求出直线方程中的未知数，即可确定直线方程．

试题解析：

因直线斜率为tan45°=1，可设直线方程，化为一般式，

由直线与原点距离是5，得，

所以直线方程为,或.

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题型：简答题

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简答题

在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,,、分别为、的中点.

(1)求二面角的余弦值;

(2)求点到平面的距离.

正确答案

（1）；（2）．

试题分析：（1）本题中取中点，将会出现许多垂直，这正是我们解题时需要的结果，由于，则，由于平面平面，则平面，是正三角形，则，有了这些垂直后，就可以建立空间直角坐标系（以为原点，分别为轴），写出相应点的坐标，计算所需向量的坐标，设分别是二面角的两个面的法向量，则二面角的余弦值，就等于（或者其相反数，这要通过图形观察确定）；（2）设平面的法向量是，则点以平面的距离为．

试题解析：⑴取中点,连结､.∵,,

∴,.∵平面平面,

平面平面,∴平面,∴.

如图所示建立空间直角坐标系,则,,,

∴.

∴．

设为平面的一个法向量，

则，

取，则，∴，

又为平面的一个法向量，

，即二面角的余弦值为．

(2)由⑴得,又为平面的一个法向量,,

∴点到平面的距离.

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题型：填空题

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填空题

原点到直线的距离．

正确答案

试题分析：原点到直线的距离.

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题型：填空题

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填空题

△ABC的三个顶点A、B、C到平面的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且A,B,C在平面的同侧，则△ABC的重心到平面的距离为___________。

正确答案

3,

略

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题型：填空题

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填空题

已知点A（-2，3，4），在y轴上求一点B，使|AB|=7，则点B的坐标为______．

正确答案

设B（0，y，0），则

∵点A（-2，3，4），|AB|=7，

∴=7

∴y=3±

∴B（0，3±，0）

故答案为：（0，3±，0）

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题型：简答题

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简答题

（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥底面,，点是棱的中点.

（Ⅰ）求点到平面的距离；

(Ⅱ) 若，求二面角的平面角的余弦值 .

正确答案

（Ⅰ）；(Ⅱ)

(I)可以利用体积法求解，根据．也可利用向量法．

(II)可以考虑向量法，建系后，求出二面角两个面的法向量，然后求出法向量的夹角，再根据法向量的夹角与二面角相等或互补求解．

解：(Ⅰ)以为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系，设，则，，， .因此），，.

则，所以⊥平面.又由∥知∥平面，故点到平面的距离为点到平面的距离，即为…（6分）

（Ⅱ)因为，则.设平面的法向量，则由可解得：，同理可解得

平面的法向量，故

所以二面角的平面角的余弦值为. ……（12分）

注：此题也可用传统法解答，可类似给分.

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题型：填空题

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填空题

如图所示，AO⊥平面α，BC⊥OB，BC与平面α的夹角为30°，AO=BO=BC=a，则AC=______．

正确答案

作CD⊥平面α，垂足为D，连接BD，OD，则∠CBD=30°，

∵BO=BC=a，∴OD=a，CD=a

过C作CE⊥AO，垂足为E，则CE=a，AE=a

∴AC==a

故答案为：a

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题型：填空题

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填空题

在空间直角坐标系中，A（2，3，4），B（3，1，2）两点之间的距离为______．

正确答案

由空间两点间的距离公式得：==3；

故答案为：3．

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题型：填空题

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填空题

已知空间两点A（1，2，3），B（2，-1，1）则A，B两点间的距离为______．

正确答案

∵空间两点A（1，2，3），B（2，-1，1），

∴|AB|==．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

关于图中的正方体，下列说法正确的有： ____________．

①点在线段上运动，棱锥体积不变；

②点在线段上运动，直线AP与平面平行；

③一个平面截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；

④一个平面截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；

⑤平面截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面在平面

与平面间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。

正确答案

①②③

试题分析：，则平面，即点在线段上运动时，棱锥的底面大小和高保持不变，故棱锥体积不变，即①正确;

因为平面平面,又平面，所以平面，即②正确；

如图一个平面截此正方体，如果截面是三角形，，，，

则，，，

，为锐角，

同理，得与，所以为锐角三角形，故③正确；

如图平面截正方体，截面为，显然不为平行四边形，故④错误；

平面截正方体得到一个六边形（如图），则截面在平面与平面间平行移动时此六边形周长保持不变，故⑤错误.

故答案为：①③.

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题型：填空题

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填空题

空间A（1，2，3），B（5，4，7）两点间的距离是______．

正确答案

∵A（1，2，3），B（5，4，7），

∴|AB|===6

故答案为：6

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题型：填空题

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填空题

圆上的动点到直线距离的最小值是 .

正确答案

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试题分析：如上图过圆O上动点Q及圆心O作直线l的垂线QN，OM，N，M为垂足，OM交圆O于点A，由平面几何知识知，当Q与A重合时取等号，即QN的最小值是AM，实际上QN的最大值点就是直线OM与圆的另一交点.已知圆标准方程为，圆心到直线的距离为,∴QN的最小值为.

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题型：填空题

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填空题

已知球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则= .

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，是正方体的其余四个顶点中的一个，则到平面的距离可能是：

①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7

以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）

正确答案

①③④⑤

试题分析：线段BD的中点到的距离为，所以C点到的距离位，故①；B点到的距离=到的距离+B点的距离=4+1=5，故③正确；到的距离=到的距离+C到的距离=4+3=7，故⑤正确；到的距离=到的距离+D到的距离=4+2=6，故④正确。

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