圆与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在长方体OABC-O1A1B1C1中，OO1=a，OA=b，OC=c，M是BB1中点，N是CC1中点，P是AA1上一点，且AP=2PA1，Q是OA反向延长线上一点，OA=2QO，以O为原点，OA，OC，OO1为x轴、y轴、z轴的正方向，

（1）求B、B1、M、N、P、Q的坐标；

（2）求QM的距离．

正确答案

（1）B（b，c，0）、B1（b，c，a）、

M（b，c，）、N（0，c，）、

P（b，0，）、Q（-，0，0）；

（2）|QM|==．

1

题型：填空题

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填空题

直线与直线的距离为____________

正确答案

2

略

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．

正确答案

(2,4)

取四边形ABCD对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：

假设在四边形ABCD中任取一点P，在△APC中，有AP＋PC＞AC，在△BPD中，有PB＋PD＞BD，

而如果P在线段AC上，那么AP＋PC＝AC；同理，如果P在线段BD上，那么BP＋PD＝BD.

如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是AC与BD的交点．

易求得P(2,4)．

1

题型：填空题

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填空题

若点到直线距离为，则=* * * ．

正确答案

0或5

略

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题型：简答题

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简答题

已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及的值为最小

正确答案

所求P点坐标为P(0,1)

先求A点关于y轴的对称点(－2,5)

直线B的方程为

即2x+y－1=0

=

∴最小,就是+最小

当,P,B共线时, +最小

在2x+y－1=0中,令x=0及y=1

故所求P点坐标为P(0,1)

1

题型：填空题

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填空题

圆的圆心到直线的距离 .

正确答案

3

由已知圆心为，由点到直线的距离公式得，

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题型：填空题

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填空题

两平行直线x+3y-4=0与2x+6y-9=0的距离是 .

正确答案

由平行线间的距离公式可知.

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题型：简答题

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简答题

（8分）求直线L:3x-y-6=0被圆C：x2+y2-2x-4y=0截得的弦长AB的长。

正确答案

|AB|=2

利用圆心到直线的距离与弦长的一半和半径这三个量成勾股知识列出关于弦长的等式，求解即可

解：圆x2+y2-2x-4y=0的圆心为（1，2），半径r=，

所以圆心到直线3x-y-6=0的距离d=，

由弦长公式得|AB|=2

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题型：简答题

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简答题

已知中，，，点在直线上，若的面积为，求出点坐标．

正确答案

点坐标为或

解：由题得：．

，（为点到直线的距离）．

设点坐标为，的方程为，即．

由，

解得或．

点坐标为或．

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题型：简答题

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简答题

两个相交平面a、b 都垂直于第三个平面g ，那么它们的交线a一定和第三个平面垂直．

正确答案

在g 内取一点P，过P作PA垂直a 与g 的交线；过P作PB垂直b 与g 的交线．

∵a⊥g 且b⊥g

∴PA⊥a且PB⊥b

∴PA⊥a且PB⊥a

∴a⊥g

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题型：填空题

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填空题

棱长为1的正方体和它的外接球与一个平面相交得到的截面是一个圆及它的内接正三角形，那么球心到截面的距离等于 ▲ .

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

如题14图，面为的中点，为内的动点，且到直线的距离为则的最大值为________________.

正确答案

60°

略

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题型：简答题

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简答题

等边三角形的边长为，沿平行于的线段折起，使平面平面，设点到直线的距离为，的长为．

（1）为何值时，取得最小值，最小值是多少；

（2）若，求的最小值．

正确答案

（1）当时，取得最小值．

（2），当时，取得最小值

如图（１）为折叠前对照图，图（2）为折叠后空间图形，

平面平面，

又，平面．

．中，

，，

故，

当时，取得最小值．

（2），，在等腰△中，

由余弦定理得．

即，当时，取得最小值．

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题型：简答题

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简答题

（1）若两条曲线的极坐标方程分别为ρ=1与ρ=2cos(θ+)，它们相交于A，B两点，求线段AB的长．

（2）过点P（-3，0）且倾斜角为30°直线和曲线 (t为参数)相交于A、B两点．求线段AB的长．

正确答案

（1）：由ρ=1得x2+y2=1，

又∵ρ=2cos(θ+)=cosθ-sinθ，∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ

∴x2+y2-x+y=0，（4分）

由

得A(1，0)，B(-，-)，（6分）

∴AB==（8分）

（2）．直线的参数方程为(s为参数)，（10分）

曲线(t为参数)可以化为x2-y2=4．（12分）

将直线的参数方程代入上式，得s2-6s+10=0．

设A、B对应的参数分别为s1，s2，

∴s1+s2=6，s1s2=10．（14分）

AB=|s1-s2|==2．（16分）

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题型：简答题

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简答题

已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．

(Ⅰ)求异面直线CC1和AB的距离；

(Ⅱ)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值．

正确答案

(Ⅰ)； (Ⅱ).

试题分析：(Ⅰ) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中, AC＝BC＝3，D为AB的中点，易知CD⊥AB.又侧棱垂直底面，从而有CC1⊥CD，即CD为异面直线CC1和AB的距离，计算其长度即可；(Ⅱ)易证CD垂直于侧面，从而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1为所求的二面角A1－CD－B1的平面角．再根据相关条件求出△A1DB1各边，从而利用余弦定理求出所求角的余弦值即可.

试题解析：(Ⅰ)因AC＝BC，D为AB的中点，故CD⊥AB.

又直三棱柱中，CC1⊥面ABC，故CC1⊥CD，所以异面直线CC1和AB的距离为CD＝＝.

5分

(Ⅱ)由CD⊥AB，CD⊥BB1，故CD⊥面A1ABB1，从而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1为所求的二面角A1－CD－B1的平面角． 8分

又CD⊥，AB1⊥A1C，所以AB1⊥平面,从而，都与互余，因此，所以∽，因此＝，得.从而A1D＝＝2，B1D＝A1D＝2，

所以在△A1DB1中，由余弦定理得. 12分

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