热门试卷

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解法一：（Ⅰ）因为AD//BC，且，所以，从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。

因为平面故,从而，由AD//BC，得，又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中

。

（Ⅱ）如答（19）图1，过E电作，交于点G，又过G点作

，交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC，交于点F，连结GF，因平面，故。

由于E为BS边中点，故，在中，

，因，又，

故由三垂线定理的逆定理得，从而又可得

因此而在中，

在中，可得，故所求二面角的大小为。

解法二：

（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD，OC分别为x轴，y轴正向，建立空间

坐标系，设，因平面

即点A在xoz平面上，因此。

又，

因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为。

（Ⅱ）易知C(0,2,0)，D(,0,0)。因E为BS的中点，ΔBCS为直角三角形，

知。

设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1）。

在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD。

由故

   ①　

又点G在直线CD上，即，由=（），则有　②

联立①、②，解得G＝，

故=，又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为。

因为=，,所以

，故所求的二面角的大小为。

（1）；（2）.

第一问利用已知的空间向量基本定理，表示体对角线的向量，然后利用数量积的性质，模的平方等于向量的平方，得到的长度

第二问中，分别表示异面直线与所在的向量的坐标，通过求解向量的数量积来表示夹角，从而得到结论。

(1)解：设 AB =" a" ， AD =" b" ， AA1 =" c" ，则两两夹角为60°，且模均为1．

（1） AC1 =" AC" + CC1 =" AB" + AD + AA1 =" a" + b + c ．

∴| AC1 |2=（ a + b + c ）2="|" a |2+| b |2+| c |2+2 a • b +2 b • c +2 a • c=3+6×1×1×1 2 =6，

∴| AC1 |=  ，即AC1的长为  ．  ………………6分   

(2) ………………14分

(1);(2)在距离时,最小

试题分析：(1)由题意不难想到作 于,这样能将条件很好的集中在 和 中,不妨设出一长度和角度,即设,在上述两直角三角形中,由直角三角形中正切的含义即,这样就可得到关于的一元二次方程,就可解得值; (2)先在图中含有和的两个直角三角形中,得到,再由两角和的正切公式可求出关于的表达式,通过化简得，结合基本不等式可求出它的最小值,并由基本不等式成立的条件得到此时的值,即可确定出的位置.

试题解析：解：(1)如图作 于 ．

 ．

设 ，

 ．

在 和 中，

          4分

化简整理得 ，

解得 ．

 的长度是 ．          7分

(2)设 ，所以           9分

则     14分 当且仅当 ，即 时， 最小．   15分

答： 在距离 时, 最小．          16分

因为y=+，

所以函数y是x轴上的点P（x，0）与两定点A（0，3）、B（4，5）距离之和．

y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值．

由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为A′（0，-3），

则|PA|+|PB|的最小值等于|A′B|，

即=4．

所以ymin=4．

直线L的斜率k的取值范围是有限集

Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为

圆S：         ......5分

（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分

圆S：    ①   与双曲线T：    ②

因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。

的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为      ③

（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分

（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：

情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。  ......15分

情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是  ④

或    ⑤    .解方程④得，解方程⑤得。

综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。

（1）设点P的坐标是（x，0，0），

由题意|P0P|=，

即=，

∴（x-4）2=25．解得x=9或x=-1．

∴点P坐标为（9，0，0）或（-1，0，0）．先设点M（x，1-x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．

（2）设点M（x，1-x，0）

则|MN|==

∴当x=1时，|MN|min=．

∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小．

（1）由空间两点间的距离公式可得|AB|==1；

（2）同（1）可得|CD|==

(1)证明略 (2)证明略(3)结论是肯定的

(1)证明: ∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC

∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C

∴AD⊥CC1.

(2)证明: 延长B1A1与BM交于N，连结C1N

∵AM=MA1，∴NA1=A1B1

∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1

∴C1N⊥C1B1

∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C

∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C

∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.

(3)解： 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性. 

过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C

∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C. 

∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面

∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE

∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1

∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点

∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1.

（1）；（2）；（3）

试题分析：（1）连接OP,OQ，

则，在中，，且 ，结合两点之间距离公式可得关于的等式；（2）在中，，是含有的二元函数，结合（1）可得关于的一元函数，求其最小值即可；（3）方法一：因为⊙与⊙有公共点，则得圆心距和其半径的关系即，要求半径的最小值，只需最小，将用两点之间距离公式表示出来，求其最小值并求取的最小值时，得⊙的圆心，进而求出圆的标准方程；方法二：由（1）知⊙的圆心的轨迹方程为：，过点作垂直于的垂线，垂足为，当两圆外切且以为圆心时，半径最小，此时，两条直线求交点确定圆心，从而求出圆的 标准方程.

试题解析：（1）连为切点，，由勾股定理有，又由已知，故.即：，化简得实数a、b间满足的等量关系为：；（2）由，得，=

，故当时，即线段PQ长的最小值为 ；

（3）方法一：设圆P的半径为，圆P与圆O有公共点，圆O的半径为1，即且，而，故当时，此时, ，，得半径取最小值时圆P的方程为．

方法二：圆与圆有公共点，圆 半径最小时为与圆外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1，圆心为过原点与垂直的直线 与的交点， ,又：x－2y = 0,解方程组，得.即,∴所求圆方程为.