热门试卷

(1)所求距离为2     (2)当AA1=时满足条件.

(1)∵BB1⊥A1E，CC1⊥A1F，BB1∥CC1

∴BB1⊥平面A1EF

即面A1EF⊥面BB1C1C

在Rt△A1EB1中，

∵∠A1B1E=45°，A1B1=a

∴A1E=a,同理A1F=a,又EF=a，∴A1E=a

同理A1F=a,又EF=a

∴△EA1F为等腰直角三角形，∠EA1F=90°

过A1作A1N⊥EF，则N为EF中点，且A1N⊥平面BCC1B1

即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离

∴A1N=

又∵AA1∥面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为

∴a=2，∴所求距离为2

(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形.

∵B1C1⊥D1D,B1C1⊥A1N

∴B1C1⊥平面ADD1A1

∴BC⊥平面ADD1A1

得平面ABC⊥平面ADD1A1，过A1作A1M⊥平面ABC，交AD于M，

若A1M=A1N，又∠A1AM=∠A1D1N，∠AMA1=∠A1ND1=90°

∴△AMA1≌△A1ND1,∴AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件.

证明:如图,以顶点A为坐标原点,以AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(0,0).

设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质得点C的坐标为(a+b,c),

因为|AB|2=a2,|CD|2=a2,|AD|2=b2+c2,|BC|2=b2+c2,|AC|2=(a+b)2+c2,|BD|2=(b-a)2+c2,

所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=2(a2+b2+c2),

|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2).

所以|AB|2+|CD|2+|AD|2+|BC|2=|AC|2+|BD|2.

因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

两条相交直线的夹角、点到直线的距离公式

解法一:由直线x-y+4=0,得y=x+4,点P在该直线上.

∴可设P点的坐标为(a,a+4).

由已知|PM|=|PN|,

∴

,

.

∴(a+2)2+(a+8)2=(a-4)2+(a-2)2.

解得,从而.

∴.

解法二:由于|PM|=|PN|,∴点P在线段MN的垂直平分线上.

由于,

∴线段MN的垂直平分线的斜率为.

又MN的中点为(1,1),

∴线段MN的垂直平分线的方程为,即.

又∵点P在直线x-y+4=0上,

∴点P为直线x-y+4=0与的交点.

由

∴点P的坐标为.

可用两种方法来做,方法一:利用两点间的距离公式;方法二:垂直平分线

即当时,两直线的交点在第一象限.

由

得

∵两直线的交点在第一象限,

∴

∴,

即当时,两直线的交点在第一象限.