- 圆与方程
- 共4684题
如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O。将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=
3
（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值；
（Ⅲ）设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4
正确答案
（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点，
又点M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB，
因为
所以OM∥平面ABD。
（Ⅱ）解：由题意，OB=OD=3，
因为
又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC，
建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
所以
设平面ABD的法向量为
则有
令x=1，则
因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD，
平面BOD的法向量与AC平行，
所以平面BOD的法向量为
因为二面角A-BD-O是锐角，
所以二面角A-BD-O的余弦值为
（Ⅲ）解：因为N是线段BD上一个动点，设
则
所以
则
由
解得
所以N点的坐标为（0，2，1）或（0，1，2）。
如图所示，正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，且它们的边长都是1，点M在AC上，点N在BF上，若CM=2BN=a（0＜a＜
（Ⅰ）求MN的长；
（Ⅱ）当a为何值时，MN最小，并求出最小值？
（Ⅲ）当MN最小时，求三棱锥M-ANB的体积。
正确答案
解：（Ⅰ）MN=
（Ⅱ）当a=
（Ⅲ）
已知A（4，1，9），B（10，-1，6），则A，B两点间距离为______．
正确答案
∵A（4，1，9），B（10，-1，6），
∴A，B两点间距离为
|AB|=
故答案为：7
已知点M在z轴上，A（1，0，2），B（1，-3，1），且|MA|=|MB|，则点M的坐标是 ______．
正确答案
∵点M在z轴上，
∴设点M的坐标为（0，0，z）
又|MA|=|MB|，
由空间两点间的距离公式得：
解得：z=-3．
故点M的坐标是（0，0，-3）．
故答案为：（0，0，-3）．
在空间直角坐标系O-xyz中，设点M是点N（2，-3，5）关于坐标平面xOy的对称点，则线段MN的长度等于（ ）。
正确答案
10
设点B是点A（2，-3，5）关于xOy面的对称点，则|AB|=（ ）。
正确答案
10
给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0（4，1，2）的距离为
正确答案
解：设点P的坐标是（x，0，0），
由题意，
∴点P的坐标为（9，0，0）或（-1，0，0）。
在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M到点N（6，5，1）的距离最小。
正确答案
解：由已知，可设
则
已知x，y，z满足（x-3）2+（y-4）2+z2=2，那么x2+y2+z2的最小值是______．
正确答案
由题意可得P（x，y，z），在以M（3，4，0）为球心，
x2+y2+z2表示原点与点P的距离的平方，
显然当O，P，M共线且P在O，M之间时，|OP|最小，
此时|OP|=|OM|-
所以|OP|2=27-10
故答案为：27-10
已知A（1，2，3），B（2，y，1）两点距离为3，则y的值为（ ）．
正确答案
4或0
在空间直角坐标系中，已知点A在z轴上，点B的坐标是（2，1，-3），且|AB|=3，则点A的坐标是（ ）。
正确答案
（0，0，-1）或（0，0，-5）
点M（4，-3，5）到原点的距离d=（ ），到z轴的距离d=（ ）。
正确答案
已知A（1，2，1），B（-1，3，4），C（1，1，1），|AP|=2|PB|，则|PC|长为（ ）。
正确答案
在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是（ ）
正确答案
（0，﹣1，0）
已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，-3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ）。
正确答案
3
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