- 导数的概念
- 共3561题
已知a＞0，函数f（x）=x3-a，x∈（0，+∞），设x1＞0，记曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线为l，
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x2，0）证明：
①
②若
正确答案
解：（1）f（x）的导数f‘（x）=3x2，
由此得切线l的方程y-（x13-a）=3x12（x-x1）；
（2）①依题意，在切线方程中令y=0，
得
∴
②若
且由①
所以
解析
解：（1）f（x）的导数f‘（x）=3x2，
由此得切线l的方程y-（x13-a）=3x12（x-x1）；
（2）①依题意，在切线方程中令y=0，
得
∴
②若
且由①
所以
如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为（ ）
正确答案
解析
解：∵v=
∴v=s′|t=3=6t2|t=3=54．
故选C．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx（abc≠0）．
（1）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（2）在同一函数图象上任意取不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，
①对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，求证：k=f′（x0）；
②对于“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx，是否有①同样的性质？证明你的结论．
正确答案
解：（1）如果x＞0，g（x）为增函数，则
g′（x）=2ax+b+
∴2ax2+bx+c＞0（ii）恒成立
∵a＜0，由二次函数的性质，（ii）不可能恒成立
则函数g（x）不可能总为增函数．
（2）①对于二次函数：
k=
由f′（x）=2ax+b故f′（x0）=2ax0+b
即k=f′（x0）
（2）②
不妨设x2＞x1，对于伪二次函数g（x）=ax2+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
k=
如果有①的性质，则g′（x0）=k
∴
即∴
令
设s（t）=lnt-
∴s（t）在（1，+∞）上递增，
∴s（t）＞s（1）=0
∴g′（x0）≠k∴“伪二次函数“g（x）=ax2+bx+clnx不具有①的性质．
解析
解：（1）如果x＞0，g（x）为增函数，则
g′（x）=2ax+b+
∴2ax2+bx+c＞0（ii）恒成立
∵a＜0，由二次函数的性质，（ii）不可能恒成立
则函数g（x）不可能总为增函数．
（2）①对于二次函数：
k=
由f′（x）=2ax+b故f′（x0）=2ax0+b
即k=f′（x0）
（2）②
不妨设x2＞x1，对于伪二次函数g（x）=ax2+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
k=
如果有①的性质，则g′（x0）=k
∴
即∴
令
设s（t）=lnt-
∴s（t）在（1，+∞）上递增，
∴s（t）＞s（1）=0
∴g′（x0）≠k∴“伪二次函数“g（x）=ax2+bx+clnx不具有①的性质．
已知函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）且
A-1
B
C2
D1
正确答案
解析
解：由题意，
根据导数的定义，可知f′（x0）=
∴f′（x0）=
故选B．
曲线y=sin2x+6在
A
B
C
D
正确答案
解析
解：令f（x）═sin2x+6，
∴f′（x）=2sinxcosx=sin2x
根据直线的斜率为倾斜角的正切值，可得倾斜角为
故选A．
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