- 导数的概念
- 共3561题
已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切．
（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）内有极值点，求c的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）依题意，令f‘（x）=g'（x），得2x+b=1，
故
∵b＞-1，c＞0，∴
（Ⅱ）F（x）=f（x）g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc．
F′（x）=3x2+4bx+b2+c．
令F'（x）=0，即3x2+4bx+b2+c=0．
则△=16b2-12（b2+c）=4（b2-3c）．
若△=0，则F'（x）=0有一个实根x0，且F'（x）的变化如下：
于是x=x0不是函数F（x）的极值点．若△＞0，
则F′（x）=0有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2）且F′（x）的变化如下：
由此，x=x1是函数F（x）的极大值点，x=x2是函数F（x）的极小值点．
综上所述，当且仅当△=0时，函数F（x）在（-∞，+∞）上有极值点．
∵
解之得0＜c＜7-4
故所求c的取值范围是（0，7-4
解析
解：（Ⅰ）依题意，令f‘（x）=g'（x），得2x+b=1，
故
∵b＞-1，c＞0，∴
（Ⅱ）F（x）=f（x）g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc．
F′（x）=3x2+4bx+b2+c．
令F'（x）=0，即3x2+4bx+b2+c=0．
则△=16b2-12（b2+c）=4（b2-3c）．
若△=0，则F'（x）=0有一个实根x0，且F'（x）的变化如下：
于是x=x0不是函数F（x）的极值点．若△＞0，
则F′（x）=0有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2）且F′（x）的变化如下：
由此，x=x1是函数F（x）的极大值点，x=x2是函数F（x）的极小值点．
综上所述，当且仅当△=0时，函数F（x）在（-∞，+∞）上有极值点．
∵
解之得0＜c＜7-4
故所求c的取值范围是（0，7-4
（文）如果质点A的位移S与时间t满足方程S=2t3（位移单位：米，时间单位：秒），则质点在t=3时的瞬时速度为
______米/秒．
正确答案
54
解析
解：（文）∵S=2t3
∴S′=6t2，
∴点在t=3时的瞬时速度为6×32=54
故答案为：54
一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是v=t2-t+3（v单位：m/s；时间单位：s），则质点在t=2s时的瞬时加速度为______m/s2．
正确答案
3
解析
解：由题意，v′=2t-1，
故v′=2×2-1=3，
故答案为：3．
若函数f（x）在某点处的切线方程为x-y+1=0，则函数在该点处的导数为______．
正确答案
1
解析
解：函数在该点处的导数与函数f（x）在某点处的切线的斜率相等，
∵函数f（x）在某点处的切线方程为x-y+1=0，
∴切线的斜率为1，
根据导数的几何意义得出：函数在该点处的导数为1，
故答案为：1．
已知直线y=kx是曲线y=ex的切线，则实数k的值为（ ）
A
B
C-e
De
正确答案
解析
解：曲线y=ex的导数为y′=ex，设切点为P（x0，ex0），则过P的切线方程为y-ex0=ex0（x-x0）
代入（0，0）点得x0=1，∴P（1，e）
∴k=e
故选D
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