直线的方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0＜m＜1）上，过点P作双曲线x2-y2=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M（，0），

（1）求证：三点A、M、B共线；

（2）过点A作直线x-y=0的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在曲线方程。

正确答案

解：（1）设，

由已知得到，且，

设切线PA的方程为：，

由得，

从而，

解得，

因此PA的方程为：，

同理PB的方程为：，

又在PA、PB上，所以，

即点都在直线上，

又也在直线上，

所以三点A、M、B共线。

（2）垂线AN的方程为：，

由得垂足，

设重心G（x，y），

所以，解得，

由，可得，

即为重心G所在曲线方程。

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题型：简答题

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简答题

已知点P是⊙O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足．

（1）求动点Q的轨迹方程；

（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使（O是坐标原点），若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）设P（x0，y0），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x0，0）

∴

又

∴

∵P在⊙O上，故x02+y02=9

∴

∴点Q的轨迹方程为

（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）满足，则

E（1，1）是线段MN的中点，且有

又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上

∴

两式相减，得

∴

∴直线MN的方程为4x+9y﹣13=0

将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：

52x2﹣104x﹣155=0则△＞0有实根

∴椭圆上存在点M、N满足，

此时直线MN的方程为4x+9y﹣13=0。

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的左焦点，且在在上。

（1）求的方程；

（2）设直线l同时与椭圆和抛物线相切，求直线l的方程。

正确答案

解：（1）由题意得：

故椭圆的方程为：；

（2）①设直线，直线与椭圆相切

直线与抛物线相切，得：不存在

②设直线

直线与椭圆相切

两根相等

直线与抛物线相切

两根相等

解得：或。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是e=，若点P（0，）到椭圆C上的点的最远距离为。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的左焦点F1作直线l交椭圆C于点A，B，且|AB|等于椭圆的短轴长，求直线l的方程。

正确答案

解：（1）因为

解得a=2b

则椭圆C的方程可化为

设Q（x0，y0）是椭圆C上的一点，则有

，

所以

当且a>0即0＜a＜1时，则当时

PQ取最大值

解得

显然不符合题意，应舍去

当，即a≥1时，则当时

PQ取最大值

解得符合题意

所以椭圆C的方程为。

（2）由（1）知

当直线l垂直于x轴时，此时直线l的方程为

把它代入

解得

不妨设

则|AB|=1≠2，显然不满足题意，

当直线l不垂直于x轴时，此时可设直线l的方程为

设

由得

则

所以

解得

综上，直线l的方程为或。

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题型：简答题

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简答题

椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率。

（1）求椭圆E的方程；

（2）求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程。

正确答案

解：（1）设椭圆E的方程为

由得

∴

将代入，有

解得

∴椭圆E的方程为。

（2）由（1）知

所以直线AF1的方程为

即

直线AF2的方程为

由椭圆E的图形知，∠F1AF2的角平分线所在直线斜率为正数

设为的角平分线所在直线上任一点，则有

若得

求斜率为负，不合题意，舍去

于是

即

所以的角平分线所在直线的方程为。

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题型：简答题

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简答题

已知点M（k，l）、P（m，n），（klmn≠0）是曲线C上的两点，点M、N关于x轴对称，直线MP、NP分别交x轴于点E（xE，0）和点F（xF，0），

（Ⅰ）用k、l、m、n分别表示xE和xF；

（Ⅱ）某同学发现，当曲线C的方程为：x2+y2=R2（R＞0）时，xE·xF=R2是一个定值与点M、N、P的位置无关；请你试探究当曲线C的方程为：时，xE·xF的值是否也与点M、N、P的位置无关；

（Ⅲ）类比（Ⅱ）的探究过程，当曲线C的方程为y2=2px（p＞0）时，探究xE与xF经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论。（只要求写出你的探究结论，无须证明）

正确答案

解：（Ⅰ）依题意N（k，-l），

且∵klmn≠0及MP、NP与轴有交点知：M、P、N为不同点，

直线PM的方程为，

则，

同理可得；

（Ⅱ）∵M，P在椭圆C：上，

∴，

∴xE·xF的值是与点M、N、P位置无关；

（Ⅲ）一个探究结论是：；

提示：依题意，，

∵M，P在抛物线C：y2=2px（p>0）上，

∴n2=2pm，l2=2pk，，

∴为定值。

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题型：简答题

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简答题

设椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），直线l：x=a2交x轴于点A，且，

（Ⅰ）试求椭圆的方程；

（Ⅱ）过F1，F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D，E，M，N四点（如图所示），若四边形DMEN的面积为，求DE的直线方程。

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，=2c=2，∴A（a2，0），

∵，

∴F2为AF1的中点，

∴a2=3，b2=2，

即椭圆方程为；

（Ⅱ）当直线DE与x轴垂直时，，此时，

四边形DMEN的面积不符合题意，故舍掉；

同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积不符合题意，故舍掉；

当直线DE，MN均与x轴不垂直时，

设DE：y=k（x+1），

代入消去y得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0，

设 D（x1，y1），E（x2，y2），

则，

所以，

同理，

所以四边形的面积

，

由或，

所以直线lDE：或lDE：或lDE：

或lDE：。

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题型：简答题

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简答题

若椭圆（a＞b＞0）过点（-3，2），离心率为，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为（x-8）2+（y-6）2=4，过⊙M上任一点P作⊙O的切线切点为PA，PB，切点为A，B。

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；

（3）求的最大值与最小值。

正确答案

解：（1）由题意得

∴

所以椭圆的方程为；

（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6）时，弦PQ最大。

因为直线PA的斜率一定存在，

所以可设直线PA的方程为：

又因为PA与圆O相切，

所以圆心（0，0）到直线PA的距离为

即

可得或

所以直线PA的方程为：

或；

（3）设

则

所以

∴。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，焦距为2，并且椭圆C上的点与焦点最短的距离是1。

（1）求椭圆C的离心率及标准方程；

（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，则k与m之间应该满足怎样的关系？

（3）在（2）的条件下，且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A，求证：直线l必过定点，并求出定点的坐标。

正确答案

解：（1）∵2c=2，a-c=1，

∴c=1，a=2，

∴b2=a2-c2=3

∴椭圆C的方程为。

（2）由方程组得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0

由题意：Δ=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）>0，

整理得3+4k2-m2>0 ①；

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），

则

由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0），

∴（x1-2）（x2-2）+y1y2=0，

即（1+k2）x1x2+（km-2）（x1+x2）+m2+4=0，

即

整理得7m2+16mk+4k2=0，

解得m=-2k或，均满足①

当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），舍去；

当时，直线l的方程为，过定点

故直线l过定点，且定点的坐标为。

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题型：简答题

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简答题

如图，已知F1，F2分别是椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点，且椭圆C的离心率，F1也是抛物线C1：y2=-4x的焦点。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点F2的直线交椭圆C于D，E两点，且，点E关于x轴的对称点为G，求直线GD的方程。

正确答案

解：（Ⅰ）因为抛物线C1的焦点是F1（-1，0），则，得a=2，

则，故椭圆C的方程为；

（Ⅱ）显然直线l的斜率不存在时不符合题意，可设直线l：，

设，，由于，

则，

联立，得，

则，...........① ，..............②，

将代入①、②得：，..............③ ，

.....④ ，

由③、④得，，，

（i）若时，，

即，

直线GD的方程是；

（ii）当时，同理可求直线GD的方程是。

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