热门试卷

（1）因为f′（x）=2ax，…（1分）

而切线2x-4y-1=0的斜率为，所以2a=，a=

又图象经过点（2，1），所以4a+c=1，那么c=0，

所以函数f(x)=x2…（5分）

（2）设点P（x0，-1），切点坐标为(t，t2)，f′(x)=x，

那么切线的斜率为t，…（6分）

所以切线方程为y-t2=(x-t)，整理得到：y=x-t2，…（8分）

此切线经过点P（x0，-1），则t2-2x0t-4=0，…（9分）

再分别设两切点坐标为A(t1，)，B(t2，)，

那么t1t2=-4，t1+t2=2x0，…（10分）

又直线AB的斜率KAB==(t1+t2)，…（11分）

所以直线AB的方程为y-=(t1+t2)(x-t1)

整理得到：y=x0x-t1t2，而t1t2=-4，

所以直线AB的方程为y=x0x+1，…（13分）

所以直线AB经过定点（0，1）…（14分）

（1）因为f′(x)=a-，所以f′(3)=a-=，b=2（2分）

又g(x)=f(x+1)=ax+.

设g（x）图象上任意一点P（x0，y0），因为g′(x)=a-，

所以切线方程为y-(ax0+)=(a-)(x-x0).（4分）

令x=0，得y=；再令y=ax，得x=2x0，

故三角形面积S=•||•|2x0|=4，即三角形面积为定值．（6分）

（2）由f（3）=3得a=1，f(x)=x+-1

假设存在m，k满足题意，则有x-1++m-x-1+=k，

化简，得=k+2-m对定义域内任意x都成立，（8分）

故只有解得

所以存在实数m=2，k=0，使得f（x）+f（m-x）=k对定义域内的任意x都成立．（12分）．

（1）由f（x）为奇函数得f（-x）+f（x）=0，即+=0

∴c=0．

 又a＞0，b是自然数，

∴当x＜0时，f（x）＜0，

 当x＞0时，f（x）＞0，

故f（x）的最大值必在x＞0时取得；

当x＞0时，f（x）==≤

当且仅当ax=，即x=时取得=，即a=b2

又f（1）＞

∴2b2-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，

＜b＜2又a＞0，b是自然数可得a=b=1，

∴f（x）=

（2）假设存在直线l与y=f（x）的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，

设P（x0，y0）则Q（2-x0，-y0）所以消去y0，得x02-2x0-1=0

解得：x0=1±，所以P点坐标为（1+，）或（1-，-），故对应Q点的坐标为（1-，-）或（1+，）

故过于P、Q两点的直线方程为：x-4y-1=0

（Ⅰ）∵函数f（x）的图象关于原点对称，

∴f（0）=0，即4d=0，∴d=0

又f（-1）=-f（1），

即-a-2b-c=-a+2b-c，

∴b=0

∴f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c．

∵x=1时，f（x）取极小值-，

∴3a+c=0且 a+c=-．

解得a=，c=-．

∴f（x）=x3-x…4

（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．

假设图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得过此两点处的切线互相垂直，

则由f′（x）=（x2-1）知两点处的切线斜率分别为k1=(-1)，k2=(-1)，且(-1)(-1)=1             （*）

∵x1，x2∈[-1，1]，

∴-1≤0，-1≤0

∴（-1）（-1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立  …（8分）（文12分）

（Ⅲ）证明：f′（x）=（x2-1），令f′（x）=0，得x=±1

∴x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（-1，1）时，f′（x）＜0

∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且fmax（x）=f（-1）=，fmin（x）=f（1）=-．

∴在[-1，1]上|f（x）|≤，于是x1，x2∈[-1，1]时，

|f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+|f（x2）|≤+=…（12分）