- 直线的方程
- 共3297题
若存在实常数k和b，使函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x恒有：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x2，φ（x）=2elnx，则可推知h（x），φ（x）的“隔离直线”方程为______．
正确答案
令F（x）=h（x）-φ（x）=x2-2elnx（x＞0），再令F′（X）=2x-
从而函数h（x）和φ（x）的图象在x=
因此存在h（x）和φ（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则
隔离直线方程为y-e=k（x-
由h（x）≥kx-k 
则△=k2-4k
e
)2≤0，只有k=2 
同理证明，由φ（x ）≤kx-k 
综上可得，函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2 
已知点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），点P在圆x2+y2=4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值与最小值之和为______．
正确答案
∵点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），
∴设P（a，b），
则|PA|2+|PB|2+|PC|2
=（a+2）2+（b+2）2+（a+2）2+（b-6）2+（a-4）2+（b+2）2
=3a2+3b2-4b+68，
∵点P在圆x2+y2=4上运动，
∴a2+b2=4，
a2=4-b2≥0，
所以b2≤4，
∴-2≤b≤2．
把a2=4-b2代入3a2+3b2-4b+68
=12-3b2+3b2-4b+68
=-4b+80，
∵-2≤b≤2，
所以-8≤-4b≤8
80-8≤80-4b≤80+8，
72≤-4b+80≤88
∴最大值是88，最小值是72，
∴|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值与最小值之和88+72=160．
故答案为：160．
过x轴上的动点A（a，0）的抛物线y=x2+1引两切线AP、AQ，P、Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；
（2）求证：直线PQ过定点；
（3）若a≠0，试求S△APQ：|OA|的最小值．
正确答案
解：（1）设切点P（x1，y1），Q（x1，y1）
由题意可得，kAP=
∴
从而可得x1，x2是方程x2﹣2ax﹣1=0的两根，
∴x=a±
∴k1k2=
即k1k2为定值﹣4．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y﹣y1=2x1（x﹣x1），
则﹣y1=2x1（a﹣x1）=2x1a﹣2x12=2x1a﹣2（y1﹣1）
∴y1=2x1a+2，
同理y2=2x2a+2，
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．
（3）
要使
而A到直线PQ的距离d=
当且仅当
∴
过x轴上的动点A（a，0）的抛物线y=x2+1引两切线AP、AQ，P、Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；
（2）求证：直线PQ过定点；
（3）若a≠0，试求S△APQ：|OA|的最小值．
正确答案
解：（I）设切点P（x1，y1），Q（x1，y1）
由题意可得，kAP=
由导数的几何意义可得，kAP=2x1，
∴
整理可得
同理可得
从而可得x1，x2是方程x2﹣2ax﹣1=0的两根，
∴x=a±
∴k1·k2=
即k1·k2为定值﹣4．
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由于y'=2x，
故切线AP的方程是：y﹣y1=2x1（x﹣x1），
则﹣y1=2x1（a﹣x1）=2x1a﹣2x12=2x1a﹣2（y1﹣1）
∴y1=2x1a+2，同理y2=2x2a+2，
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．
（Ⅲ）
要使
而A到直线PQ的距离d=
当且仅当
即a2=
∴
若存在常数k和b，使得函数f（x）和g（x）在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知f（x）=x2，g（x）=2elnx．
（I）求F（x）=f（x）-g（x）的极值；
（II）函数f（x）和g（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的方程，若不存在，请说明理由．
正确答案
（1）∵F（x）=f（x）-g（x）=x2-2clnx（x＞0），
∴F′（x）=2x-
令F′（X）=0，得x=
当0＜x＜
故当x=
（2）由（1）可知，函数f（x）和g（x）的图象在x=
由f（x）≥kx-k
由f（x）≥kx-k
则△=k2-4k
下面证明g（x）≤2
G′（X）=2
当x=
则当x=
所以G（x）=2
∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2
求经过点（2，0）且与y=
正确答案
设切线方程为y=k（x-2），所以
∴切线方程为x+y-2=0．或y=0
过点P（-1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是______．
正确答案
y′=6x-4，∴切线斜率为6×1-4=2．∴所求直线方程为y-2=2（x+1），即2x-y+4=0．
故答案为：2x-y+4=0．
已知f(x)=
（I）若过函数f（x）图象上一点P（1，t）的切线与直线x-2y+b=0垂直，求t的值；
（II）若函数f（x）在（-1，1）内是减函数，求a的取值范围．
正确答案
（1）∵f(x)=
则过P（1，t）的切线斜率为k=f′（1）=-1-4a．（2分）
又∵它与直线x-2y+b=0垂直，∴-1-4a=-2，即a=
∴f(x)=
（2）∵函数f（x）在（-1，1）内是减函数
∴f'（x）=2x2-4ax-3≤0对于一切x∈（-1，1）恒成立．（8分）
∵二次函数f'（x）的图象开口向上，
∴
∴-
函数f（x）=kx3-x在R内是减函数，则k的取值范围是______．
正确答案
∵函数f（x）=kx3-x在R内是减函数则f′（x）=3kx2-1
∴f′（x）＜0即）3kx2-1＜0
化简得：k＜
而
∴k≤0
故答案为； k≤0
已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2，且直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点．
（1）求b和c
（2）求函数y=f（x）的解析式；
（3）在d为整数时，求过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程
正确答案
解：（1）由题意可得：
函数f（x）=x3+bx2+cx+d的导数为：f ’（x）=3x2+2bx+c
因为函数f（x）=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1，x2=2
所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1，x2=2
所以2b+c+3=0，并且4b+c+12=0，解得：b=﹣
（2）设切点为（x0，y0），由（1）可得：f ’（x）=3x2﹣9x+6，因为直线y=6x+1与曲线y=f（x）相切于P点，所以f ’（x0）=6，即x0=3或者x0=0，当x0=3时，y0=19，所以函数y=f（x）的解析式为f（x）=x3
（3）由题意可得：f（x）=x3
设切点的坐标为（x1，y1），
所以
又因为f ’（x）=3x2﹣9x+6，所以K切=3x12﹣9x1+6…②，由①②可得：
所以切点为（
所以
所以切线方程为15x﹣16y+16=0．
所以过P点和y=f（x）相切于一异于P点的直线方程为
15x﹣16y+16=0．
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