热门试卷

设点P（x0，y0）

∵切线与直线x+3y-2=0垂直

∴切线的斜率为k==3

由此可得：曲线在点P处的导数y'=2+=3，解之得x0=±1．

①当x0=1时，代入函数表达式得y0=f（1）=2，

∴切点P的坐标为（1，2），

利用点斜式方程，得到切线方程为y-2=3（x-1），化简得y=3x-1

②当x0=-1时，类似①的方法可得所求切线方程为y=3x+3

综上所述，可得所求过P的切线方程．为y=3x-1或y=3x+3．

（1）由题意可得，当x＜1时，f′（x）=-3x2+2x+b，f′（-1）=-3-2+b=b-5．

由（ b-5 ）（）=-1，可得b=0，故 f（x）=-x3+x2+c．

把点（-1，2）代入求得 c=0．

综上可得b=0，c=0．

（2）由以上可得 ，当-1≤x＜1时，f′（x）=-x（3x-2）．

 解f′（x）＞0得0＜x＜．解f′（x）＜0得1≥x＞或x＜0．

∴f（x）在（-1，0）和（，1）上单调递减，在（0，）上单调递增，

从而f（x）在x=处取得极大值为f（）=．

又∵f（-1）=2，f（1）=0，∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．

当1≤x≤e时，f（x）=alnx，当a≤0时，f（x）≤0．

当a＞0时，f（x）在[1，e]单调递增；∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．

∴a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．

（3）设点P的横坐标为m（不妨设m＞0），则由题意可得点Q的横坐标为-m，且-m＜0．

当0＜m＜1时，点P（m，-m3+m2），点 Q（-m，m3+m2），由K0P•KOQ=-1，可得

（-m2+m）（-m2-m）=-1，m无解．

当m≥1时，点P（m，alnm），点 Q（-m，m3+m2），由K0P•KOQ=-1，可得

•（-m2-m）=-1，即 alnm=．由于a为正实数，故存在大于1的实数m，满足方程 alnm=．

故曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．

（1）f′（x）=2x，∴f′（1）=2

∴直线l1的方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1

设l2与曲线y=x2相切的切点为（x1，y1），∵l1⊥l2．

∴f′（x1）=2x1=-，∴x1=-，∴y1=x12=，

∴直线l2的方程为y-=-（x+），即y=-x-

（2）由得直线l1与l2的交点坐标为（，-），

又直线l1，l2与x轴的交点分别为（，0），（-，0）

∴所求三角形的面积S=|-（-）|×|-|=．

（1）设点A（x0，y0）为切点，f′（x）=2x

由于切线平行于直线y=4x-5，

所以f′（x0）=2x0=4，x0=2，y0=4．

则点A（2，4）

（2）设点B（x0，y0）为切点，f′（x）=2x

由于切线垂直于直线2x-6y+5=0，

所以f′（x0）=2x0=-3，x0=-，y0=．

则点B(-，)