热门试卷

（1）点Pk（k∈N*）在同一条直线上，直线方程为y=2x-3．

证明如下：设Pk（xk，yk），则（xk，yk）=k（1，2）+（2，1），

∴，

∴yk=2xk-3．

∴点Pk在直线y=2x-3上．

（2）由圆x2+（y-2）2=5的圆心（0，2）到直线y=2x-3的距离为==r，

可知直线与圆相切，∴直线与圆及内部最多只有一个公共点．

联立解得．

∴切点的坐标为：（2，1），此时k=0不满足题意，所以不存k∈N*满足题意．

（Ⅰ）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1），

将y=k（x+1）代入x2+3y2=5，消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

由线段AB中点的横坐标是-，得=-=-，

解得k=±，适合（1）．

所以直线AB的方程为x-y+1=0，或x+y+1=0．

（Ⅱ）①当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知x1+x2=-，x1x2=．(3)

所以•=(x1+)(x2+)+y1y2=(x1+)(x2+)+k2(x1+1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2+)(x1+x2)+k2+.

将（3）代入，整理得•=+k2+=.

②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为(-1，)、(-1，-)，

此时亦有•=.

综上，•=.

（1）因为A(6，2)，B(8，0)，所以△OAB为以OB为斜边的直角三角形，

所以圆C：（x-4）2+y2=16

①斜率不存在时，l：x=2被圆截得弦长为4，所以l：x=2适合

②斜率存在时，设l：y-6=k（x-2）即kx-y+6-2k=0

因为被圆截得弦长为4，所以圆心到直线距离为2，所以=2

∴k=-

∴l：y-6=-(x-2)，即4x+3y-26=0

综上，l：x=2或4x+3y-26=0

（2）设∠ECF=2a，

则•=||•||•cos2α=16cos2α=32cos2α-16．

在Rt△PCE中，cosα==，由圆的几何性质得|PC|≥|NC|-1=7-1=6，

所以cosα≤，

由此可得•≤-，则•的最大值为-．

（Ⅰ）y=kx+b（b＞0）与圆x2+y2=1相切，则=1，

即b2=k2+1，k≠0，所以b=（b＞0）

∴f(k)= (k∈R， k≠0)（3分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）则由，消去y

得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-2=0

又△=8k2＞0

∴x1+x2=-，x1x2=（5分）

从而•=x1x2+y1y2==，∴k=±1

∴b==（7分）

∴直线l的方程为：±x-y+=0．（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：=m，又≤m≤

∴≤≤⇒≤k2≤1（10分）

由弦长公式，得|AB|=•=

又点O到直线AB的距离d===1

∴S=|AB|•d=（12分）S2==-(≤k2≤1)

∴≤S≤（14分）

（1）计算可知，AB边所在的直线方程为2x-3y+8=0，

BC边所在的直线方程为x+y-1=0，

CA边所在的直线方程为4x-y-4=0．

（2）作出可行域，

在直角坐标系上作出直线y=x，上下平行移动，

向下移动，观察可知y=x-z经过C（1，0）时，z取到最大值1；

向上移动，观察可知y=x-z经过B（-1，2）时，z取到最小值-3．

设Q（a，4a），则直线PQ的方程为y-4=（x-6），

令y=0，得到x=OM=，

所以当a＞1，即a+1＞0，a-1＞0时，

△OMQ的面积S=××4a==10（a+1）+≥20

当且仅当10（a+1）=，即a=时取等号，

所以当Q的坐标为（，4）时，面积S的最小值为20=20=20（+1），