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题型:填空题
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填空题

若直线l经过点A(-1,1),且一个法向量为=(3,3),则直线方程是______.

正确答案

设直线的方向向量=(1,k)

∵直线l一个法向量为=(3,3)

=0

∴k=-1

∵直线l经过点A(-1,1)

∴直线l的方程为y-1=(-1)×(x+1)即x+y=0

故答案为x+y=0

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题型:简答题
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简答题

已知△ABC的顶点A(1,0),B(3,2),C(-2,3).

(1)求AB边上的高所在的直线方程;

(2)求∠BAC的大小.

正确答案

(1)∵A(1,0),B(3,2)

∴kAB==…(2分)

∴AB边上的高所在的直线的斜率k=-=-=-…(4分)

∴AB边上的高所在的直线方程为:y-3=-(x+2),即x+y+2-3=0…(6分)

(2)∵A(1,0),B(3,2),C(-2,3)

∴kAC==-1…(8分)

由(1)知kAB=

∴直线AB、AC的倾斜角分别为600和1350…(10分)

∴∠BAx=60°,∠CAx=135°…(12分)

∴∠BAC=∠CAx-∠BAx=135°-600=750…(14分)

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题型:简答题
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简答题

已知直线l:x+ay+1-a=0.

(Ⅰ)若l与线段AB有交点,其中A(-2,-1),B(1,1),求实数a的取值范围;

(Ⅱ)若l与x轴的负半轴交M点,交y轴正半轴于N,求△OMN的面积最小时直线l的方程.

正确答案

(Ⅰ)直线l过定点P(-1,1),KPA=2,KPB=0,要使l满足条件,必须

当a=0时,满足条件;当a≠0时,l的斜率-≥2或-<0

即a>0或0>a≥-,综上得a≥-

(Ⅱ)M(a-1,0),N(0,),依题意有,而S△OMN=-(a+-2),∵a<0,∴a+-2≤-4,即S△OMN=-(a+-2)≥2,当a=-1时,面积的最小值为2,此时直线的方程为x-y+2=0.

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题型:简答题
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简答题

等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y-2=0,底边所在直线l2的方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求该腰所在直线l3的方程.

正确答案

设l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,l1到l2的角是θ1,l2到l3的角是θ2

则k1=,k2=-1,tanθ1===-3.

∵l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形,∴θ12,tanθ1=tanθ2=-3,

=-3,=-3,解得k3=2.   又∵直线l3经过点(-2,0),

∴直线l3的方程为y=2(x+2),即2x-y+4=0.

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题型:简答题
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简答题

求直线3x-2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距.

正确答案

∵直线3x-2y+24=0化成斜截式,得y=x+12

∴直线的斜率k=,---------------------------------------------------(4分)

∵对直线3x-2y+24=0令y=0,得x=-8

∴直线交x轴于点(-8,0),可得直线在x轴上截距是-8,-------------------(8分)

∵对直线3x-2y+24=0令x=0,得y=12

∴直线交y轴于点(0,12),可得直线在y轴上的截距为12.-----(13分)

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=x3-2x2+ax(a∈R,x∈R)在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直.

(Ⅰ)求a的值和切线l的方程;

(Ⅱ)设曲线y=f(x)上任一点处的切线的倾斜角为θ,求θ的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)∵f(x)=x2-2x2+ax,

∴f/(x)=x2-4x+a.(2分)

∵在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直,

∴x2-4x+a=-1有且只有一个实数根.

∴△=16-4(a+1)=0,

∴a=3.(4分)

∴x=2,f(2)=

∴切线l:y-=-(x-2),即3x+3y-8=0.(7分)

(Ⅱ)∵f/(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1.(9分)

∴tanθ≥-1,(10分)

∵θ∈[0,π),

∴θ∈[0,)∪[,π)(13分)

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题型:简答题
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简答题

如图,边长为2的正六边形ABCDEF的中心在原点,点F、C在x轴上.

(1)求CD边所在的直线方程;

(2)若直线l与边CD相交,且平分该六边形的面积,求直线l的斜率的取值范围.

正确答案

(1)由题意知C(2,0),D(1,),用两点式写出CD边所在的直线方程 =

x+y-2=0.

(2)直线l过正六边形的中心,当直线l与边CD相交与点C时,直线l与x轴重合,斜率最小等于0,

当直线l与边CD相交与点D时,直线l即直线AD,方程即  y=x,斜率最大等于

故斜率的取值范围为[0,].

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题型:简答题
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简答题

求过点P(2,3)且满足下列条件的直线方程:

(1)倾斜角等于直线x-3y+4=0的倾斜角的二倍的直线方程;

(2)在两坐标轴上截距相等的直线方程.

正确答案

(1)设已知直线的倾斜角为α,由题可知tanα=

则所求直线的斜率k=tan2α===

所以直线l的方程为y-3=(x-2),化简得:3x-4y+6=0;

(2)当直线过原点时设直线方程为y=kx,把(2,3)代入求出k=,所以直线l的方程为:y=x

当直线不过原点时,设直线方程为+=1,把(2,3)代入方程得:+=1,解得A=5,所以直线l的方程为:+=1.

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题型:简答题
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简答题

已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;

(2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.

正确答案

(1)直线l的方程可化为:y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,

要使直线l不经过第四象限,则,解得k的取值范围是:k≥0…(5分)

(2)依题意,直线l在x轴上的截距为:-,在y轴上的截距为1+2k,

∴A(-,0),B(0,1+2k),又-<0且1+2k>0,

∴k>0,故S=|OA||OB|=×(1+2k)=(4k++4)≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时取等号,

故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0…(10分)

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题型:简答题
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简答题

已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-

(1)求直线l的方程;

(2)若直线m与l平行,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.

正确答案

(1)由点斜式写出直线l的方程为 y-5=-(x+2),化简为  3x+4y-14=0.

(2)由直线m与直线l平行,可设直线m的方程为3x+4y+c=0,

由点到直线的距离公式,得=3,即=3,

解得c=1或c=-29,故所求直线方程 3x+4y+1=0,或 3x+4y-29=0.

下一知识点 : 直线的交点坐标与距离公式
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