- 直线的方程
- 共3297题
若直线l经过点A(-1,1),且一个法向量为=(3,3),则直线方程是______.
正确答案
设直线的方向向量=(1,k)
∵直线l一个法向量为=(3,3)
∴•
=0
∴k=-1
∵直线l经过点A(-1,1)
∴直线l的方程为y-1=(-1)×(x+1)即x+y=0
故答案为x+y=0
已知△ABC的顶点A(1,0),B(3,2),C(-2,3).
(1)求AB边上的高所在的直线方程;
(2)求∠BAC的大小.
正确答案
(1)∵A(1,0),B(3,2)
∴kAB==
…(2分)
∴AB边上的高所在的直线的斜率k=-=-
=-
…(4分)
∴AB边上的高所在的直线方程为:y-3=-(x+2),即x+
y+2-3
=0…(6分)
(2)∵A(1,0),B(3,2),C(-2,3)
∴kAC==-1…(8分)
由(1)知kAB=
∴直线AB、AC的倾斜角分别为600和1350…(10分)
∴∠BAx=60°,∠CAx=135°…(12分)
∴∠BAC=∠CAx-∠BAx=135°-600=750…(14分)
已知直线l:x+ay+1-a=0.
(Ⅰ)若l与线段AB有交点,其中A(-2,-1),B(1,1),求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若l与x轴的负半轴交M点,交y轴正半轴于N,求△OMN的面积最小时直线l的方程.
正确答案
(Ⅰ)直线l过定点P(-1,1),KPA=2,KPB=0,要使l满足条件,必须
当a=0时,满足条件;当a≠0时,l的斜率-≥2或-
<0
即a>0或0>a≥-,综上得a≥-
;
(Ⅱ)M(a-1,0),N(0,),依题意有
,而S△OMN=-
(a+
-2),∵a<0,∴a+
-2≤-4,即S△OMN=-
(a+
-2)≥2,当a=-1时,面积的最小值为2,此时直线的方程为x-y+2=0.
等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y-2=0,底边所在直线l2的方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求该腰所在直线l3的方程.
正确答案
设l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,l1到l2的角是θ1,l2到l3的角是θ2,
则k1=,k2=-1,tanθ1=
=
=-3.
∵l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形,∴θ1=θ2,tanθ1=tanθ2=-3,
即=-3,
=-3,解得k3=2. 又∵直线l3经过点(-2,0),
∴直线l3的方程为y=2(x+2),即2x-y+4=0.
求直线3x-2y+24=0的斜率及它在x、y轴上的截距.
正确答案
∵直线3x-2y+24=0化成斜截式,得y=x+12
∴直线的斜率k=,---------------------------------------------------(4分)
∵对直线3x-2y+24=0令y=0,得x=-8
∴直线交x轴于点(-8,0),可得直线在x轴上截距是-8,-------------------(8分)
∵对直线3x-2y+24=0令x=0,得y=12
∴直线交y轴于点(0,12),可得直线在y轴上的截距为12.-----(13分)
已知函数f(x)=x3-2x2+ax(a∈R,x∈R)在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直.
(Ⅰ)求a的值和切线l的方程;
(Ⅱ)设曲线y=f(x)上任一点处的切线的倾斜角为θ,求θ的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)∵f(x)=x2-2x2+ax,
∴f/(x)=x2-4x+a.(2分)
∵在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直,
∴x2-4x+a=-1有且只有一个实数根.
∴△=16-4(a+1)=0,
∴a=3.(4分)
∴x=2,f(2)=.
∴切线l:y-=-(x-2),即3x+3y-8=0.(7分)
(Ⅱ)∵f/(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1.(9分)
∴tanθ≥-1,(10分)
∵θ∈[0,π),
∴θ∈[0,)∪[
,π)(13分)
如图,边长为2的正六边形ABCDEF的中心在原点,点F、C在x轴上.
(1)求CD边所在的直线方程;
(2)若直线l与边CD相交,且平分该六边形的面积,求直线l的斜率的取值范围.
正确答案
(1)由题意知C(2,0),D(1,),用两点式写出CD边所在的直线方程
=
,
即 x+y-2
=0.
(2)直线l过正六边形的中心,当直线l与边CD相交与点C时,直线l与x轴重合,斜率最小等于0,
当直线l与边CD相交与点D时,直线l即直线AD,方程即 y=x,斜率最大等于
,
故斜率的取值范围为[0,].
求过点P(2,3)且满足下列条件的直线方程:
(1)倾斜角等于直线x-3y+4=0的倾斜角的二倍的直线方程;
(2)在两坐标轴上截距相等的直线方程.
正确答案
(1)设已知直线的倾斜角为α,由题可知tanα=,
则所求直线的斜率k=tan2α==
=
,
所以直线l的方程为y-3=(x-2),化简得:3x-4y+6=0;
(2)当直线过原点时设直线方程为y=kx,把(2,3)代入求出k=,所以直线l的方程为:y=
x
当直线不过原点时,设直线方程为+
=1,把(2,3)代入方程得:
+
=1,解得A=5,所以直线l的方程为:
+
=1.
已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
正确答案
(1)直线l的方程可化为:y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,
要使直线l不经过第四象限,则,解得k的取值范围是:k≥0…(5分)
(2)依题意,直线l在x轴上的截距为:-,在y轴上的截距为1+2k,
∴A(-,0),B(0,1+2k),又-
<0且1+2k>0,
∴k>0,故S=|OA||OB|=
×
(1+2k)=
(4k+
+4)≥
(4+4)=4,当且仅当4k=
,即k=
时取等号,
故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0…(10分)
已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-
(1)求直线l的方程;
(2)若直线m与l平行,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.
正确答案
(1)由点斜式写出直线l的方程为 y-5=-(x+2),化简为 3x+4y-14=0.
(2)由直线m与直线l平行,可设直线m的方程为3x+4y+c=0,
由点到直线的距离公式,得=3,即
=3,
解得c=1或c=-29,故所求直线方程 3x+4y+1=0,或 3x+4y-29=0.
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