热门试卷

（1）∵e==，∴设椭圆方程为+=1，

将M（2，1）代入，得+=1，解得b2=2，

所以椭圆C的方程为+=1，

因此左焦点为（-，0），斜率k1=kOM=，

所以直线l的方程为y=（x+），即y=x+．

（2）证明：设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2），

则k1=，k2=，

∴k1+k2=+

=

=

=，（*）

设l：y=x+m，由，得x2+2mx+2m2-4=0，

所以x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，

代入（*）式，得

k1+k2=

=

=0．

所以直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．

（1）∵f'（x）=（x3+x-16）'=3x2+1，

∴在点（2，-6）处的切线的斜率k=f′（2）=3×22+1=13，

∴切线的方程为y=13x-32．

（2）设切点为（x0，y0），则直线l的斜率为f'（x0）=3x02+1，

∴直线l的方程为y=（3x02+1）（x-x0）+x03+x0-16．

又∵直线l过点（0，0），∴0=（3x02+1）（-x0）+x03+x0-16，

整理，得x03=-8，∴x0=-2，∴y0=（-2）3+（-2）-16=-26，直线l的斜率k=3×（-2）2+1=13，

∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为（-2，-26）．

（1）

（2）

试题分析：（1）由已知条件推导出，设所在的直线

方程为，由到的距离和到的距离相等，能求出所在的直线方程．

（2）由，得，从而得到，由此能求出长方形的外接圆的方程．

试题解析：（1）由于，则

由于，则可设直线的方程为：，

又点到与的距离相等，则， 

因此，，或（舍去），

则直线所在的方程为．

（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径.

故长方形的外接圆的方程为．  

(1)见解析   (2) +1

(1)设P(x0,x0+)(x0>0).

则|PN|=x0,|PM|==,

因此|PM|·|PN|=1.

(2)连接OP,直线PM的方程为

y-x0-=-(x-x0),即y=-x+2x0+.

解方程组

得x=y=x0+,所以|OM|=x0+.

S四边形OMPN=S△NPO+S△OPM

=|PN|·|ON|+|PM|·|OM|

=x0(x0+)+(x0+)

=+(+)

≥+1,

当且仅当x0=,即x0=1时等号成立,因此四边形OMPN面积的最小值为+1.

设直线l的方程为y=2x+m，

令x=0，得y=m，令y=0，得x=-，

∴A（0，m），B(-，0)．

则由|AB|2=(0+)2+(m-0)2=m2=20，解得m=±4．

∴所求直线l的方程为2x-y+4=0或2x-y-4=0．

当a=1时，直线l1：x+2y+6=0，直线l2：x+a2-1=0，显然两直线不垂直．

当a≠1时，由斜率之积等于-1可得  •=-1，

解得a=．

（Ⅰ）∵M（5，2）、N（3，2），

∴直线MN的方程为：y=2，又弦MN的中点坐标为（4，2）

∴弦MN的垂直平分线方程为：x=4，

与直线方程y=2x-3联立解得：y=5，

∴圆心C的坐标为（4，5），

又半径|CM|==，

则圆C的方程为：（x-4）2+（y-5）2=10；  （6分）

（Ⅱ）∵直径所在的直线CP的方程为x=4，

∴圆C过点P（4，4）的最短弦所在的直线方程为：y=4．   （12分）

（1）设直线l方程为y=kx+b，

联立直线方程得：解得，所以直线l过（1，1），代入直线l得：k+b=1①

由点（-1，0）到直线l的距离是2得：=2②，联立①②解得：k=-，b=，所以直线l的方程为3x+4y-7=0；

（2）设出直线l的方程为y=kx+b，根据（1）得①，

点（-1，0）到直线l的距离最大即点（1，1）与点（-1，0）确定的直线与直线l垂直，

所以k==-2，代入①得b=3，

所以直线l的方程为2x+y-3=0．